一．分层时间序列
对于任何时间t，分层结构底层的观测值加起来等于上层序列的观测值
且
进一步简化，分层结构可以写为：
或者
二．分组时间序列
上式表明分组结构有可替代的聚合路径
对分组第一级有
或者
进一步简化：
或者
三．自下而上的方法
定义：首先在底层生成每个序列的预测，之后将这些预测相加来得到结构中所有序列的预测
Ex：
先为每个底层序列生成h步向前的预测
之后加总，得到该序列其他部分h步向前的一致预测值
即
或者
四．自上而下的方法
定义：该方法首先为总结序列yt生成预测，之后在分层结构中分解这些预测，该方法仅适用于严格的分层聚合结构。
Ex：
假设一组分解比列p1,…,pm来决定分配总计序列的预测，以获得底层每个序列的预测
使用矩阵可以将这一组比例放在一个m维向量p=(p1,…,pm)’
即
一旦生成了底层序列的h步向前预测，就可以对这些预测进行汇总，为其余部分（如中间层）生成一致的预测，该自上而下的方法可以表示为
P向量估计方法
- 平均历史比例
每个比例pj反映了底层序列yj,t在t=1,…,T时相对于总计yt的历史平均值。 - 历史平均数比例
每个比例pj反映了底层序列yj,t在t=1,…,T时相对于总计yt的平均值的历史平均值；
该方法对于低频数据的预测非常有用。 - 预测比例
由于分解的历史比例没有考虑这些比例如何随时间变化，故可使用基于预测而不是历史数据的比例。
1.考虑一级层次结构，先为所有序列生成h步向前预测
2.计算底层每个h步向前初始预测与此级别所有h步向前初始预测的总和比例
3.将这些作为预测比例，然后用这些预测比例来分解顶级h步向前初始预测，以便为整个分层结构生成一致的预测。
即底层预测的结果只作为预测比例拆分的考量，而不作为预测结果，顶级的预测结果根据这个底层的预测比例来拆分该顶级预测结果。
五．中间突破方法
该方法结合自下而上和自上而下的方法
1.选择中间级别并未该级别所有序列生成预测
2.对中间以上级别，通过向上汇总中间级别预测，使用自下而上的方法
3.对于中间级别以下的序列，通过向下分解中间级别的预测，使用自上而下的方法生成一致预测。
六．映射矩阵
假设每个序列的预测都是独立的，并用
表示
预测调和：
是一致的预测，那么R=SP是调和矩阵，即将各序列不一致的预测结果通过调和矩阵R将其转换为一致的预测结果。
七．最优调和方法
若我们能找到P矩阵，使它满足最小化一组一致预测的预测误差，则我们就找到最优预测调和。
1.假设
是无偏的，则一致预测也是无偏的
2.找出预测误差：h步向前一致预测误差的方差-协方差矩阵可由下式给出
其中，
是对应的基本预测误差的方差-协方差矩阵
3.目标是找到一个矩阵P，使其可最小化一致预测的误差方差，这些误差方差在矩阵
的对角线上，故所有误差方差的总和由矩阵的迹给出，即
故最优调和预测公式为：
，我们称其为”MinT”估计量。