概率统计笔记：高斯分布

概述

正态分布(Normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution)，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

概率密度函数

若随机变量X服从一个数学期望为μ，标准差为σ的高斯分布，记为：
$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$
则其概率密度函数为：
$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

高斯分布的期望值$\mu$决定了其位置，标准差$\sigma$决定了分布的概率。
(e是一个无理数，即无限不循环小数，e≈2.71828……)当x=μ时，函数达到峰值。
整个函数在x=$\mu$左右两侧是对称的，x在$\mu -\sigma$和$\mu +\sigma$之间的样本数量占整个样本数量的68.2%，x在$\mu -2\sigma$和$\mu +2\sigma$之间的样本数量占整个样本数量的95.4%，x在$\mu -3\sigma$和$\mu +3\sigma$之间的样本数量占整个样本数量的99.6%。
$\mu$较大，则整个函数图像的中轴向右挪动比较多。
$\mu$较小，则整个函数图像的中轴向左挪动比较多。
$\sigma$较大，则整个曲线绵延比较长，整个坡度显得平缓。
$\sigma$较小，整个曲线窄而立陡。

因其曲线呈钟型，所以人们又称之为钟型曲线。
我们通常所说的标准正太分布是$\mu =0$，${\sigma }^2=1$的正太分布。