P2717 寒假作业

P2717 寒假作业

题目背景

zzs 和 zzy 正在被寒假作业折磨，然而他们有答案可以抄啊。

题目描述

他们共有 $n$ 项寒假作业。zzy 给每项寒假作业都定义了一个疲劳值 $a_i$，表示抄这个作业所要花的精力。

zzs 现在想要知道，有多少组连续的寒假作业的疲劳值的平均值不小于 $k$？

简单地说，给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $\{a_i\}$，求出有多少个连续子序列的平均值不小于 $k$。

输入格式

第一行是两个整数，分别表示序列长度 $n$ 和给定的参数 $k$。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示序列的第 $i$ 个数字 $a_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例输入

3 2
1
2
3

样例输出

4

样例解释

共有 $6$ 个连续的子序列，分别是 $(1)$、$(2)$、$(3)$、$(1,2)$、$(2,3)$、$(1,2,3)$，平均值分别为 $1$、$2$、$3$、$1.5$、$2.5$、$2$，其中平均值不小于 $2$ 的共有 $4$ 个。

数据规模

• 对于 $20\%$ 的数据，保证 $n\le 100$。
• 对于 $50\%$ 的数据，保证 $n\le 5000$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 10^5$，$1\le a_i,k\le 10^4$。

题目大意

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $\{a_i\}$，求出有多少个连续子序列的平均值不小于 $k$。

题解

前置知识：$cdq$分治

把所有$a_i$减去$k$，题目变为求有多少个区间的和$\ge 0$

设$su{m}_i=\sum _{j=1}^i{a}_i$，对于区间$[l,r]$，如果$su{m}_r-su{m}_{l-1}\ge 0$，则$[l,r]$的区间和$\ge 0$

那么，这道题就可以用$cdq$分治来解决：求满足$i<j$，且$su{m}_i\le su{m}_j$的数对$(i,j)$的个数。

总时间复杂度为$O(nlogn)$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k;
long long ans=0,a[100005];
void msort(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    msort(l,mid);msort(mid+1,r);
    sort(a+l,a+mid+1);sort(a+mid+1,a+r+1);
    for(int i=mid+1,j=l;i<=r;i++){
        while(a[j]<=a[i]&&j<=mid) ++j;
        ans+=j-l;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        a[i]-=k;a[i]+=a[i-1];
        if(a[i]>=0) ++ans;
    }
    msort(1,n);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}