PID是目前工程上使用最广泛，最稳定的方法，说实话想做点实际的东西PID必不可少，对于PID的掌握是搞控制的基本。
本文会系统梳理PID控制，从基础的P控制器开始，PI控制器解决P控制器不能用大增益的问题,PID控制器解决PD控制器稳态误差不为0的问题。
文章乱码比较多，感兴趣可以看下面这个链接：
PID 控制器的优缺点，并浅谈改进方法？ - Mr.Bo的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/answer/1925148521
最简单的反馈控制器就是P Control and First-Order Error Dynamics，也就是PID里的P，PID是比例-积分-微分控制的缩写，这个了解自动控制原理的话大家都很熟悉了，它的控制律为：
K_p>0 ,这种控制器被称为比例控制器，或P控制器，因为它创建一个与位置误差 \theta_e(t)=\theta_d(t)-\theta(t)成比例的校正控制，换句话说，恒定的控制增益 K_p 有点像一个虚拟的弹簧，试图把实际的关节位置拉到期望的关节位置。P控制器是线性控制器的一个例子，因为它产生的控制信号是误差 \theta_e(t) 的线性组合也可能是其的导数和积分。
如果 \theta_d(t) 是常数，那么 \dot\theta_d(t)=0 ，就称为setpoint control，这时候误差动力学为：
代入P控制器就有：
显然这是一个时间常数 \tau=1/K_p 的一阶误差动力学方程，它的衰减指数误差响应如下图，稳态误差为零，没有超调，2%的沉降时间为 4/K_p ，更大的 K_p 意味着更快的响应。
如果 \theta_d(t) 不是常数，而 \dot\theta_d(t)=c ，这时候误差动力学代入P控制器为：
处理一下：
解微分方程，就有：
当时间趋于无穷时，它收敛于非零值 c/K_p ,与setpoint control不同，稳态误差 e_{ss} 是非零的,关节位置总是滞后于运动参考点，通过选择控制增益 K_p ，可以使稳态误差 c/K_p 变小，但是 K_p 的大小受到实际情况的限制，一个是真正的关节有速度限制， K_p 过大显然是不行的，另一方面，较大的增益可能给系统带来不稳定的问题。
那么想用大的增益怎么办？比例积分控制器或PI控制器PI Control and Second-Order Error Dynamics就出现了，它添加与误差对时间积分成比例的项:
PI控制器的方块图如下：
如果 \theta_d(t) 不是常数，而 \dot\theta_d(t)=c ，这时候误差动力学代入PI控制器为：
上式对时间求导：
利用上一帖中二阶误差动力学的相关知识，可以看出系统的固有频率 \omega_n=\sqrt{K_i} ，阻尼比为 \zeta=K_p/2\sqrt{K_i} 类比经典的弹簧阻尼系统，增益 K_p 的作用等同于 b/m ( K_p 越大，阻尼常数b越大)，增益 K_i 的作用等同于 k/m ( K_i 越大，弹簧刚度k越大)。
那么 K_p，K_i>0 时，PI控制的误差动力学方程是稳定的，特征方程的根为：
让 K_p 等于20，然后在复平面上画出 K_i 从0增长的根轨迹（root locus）为下图：
对于根轨迹图的讨论就不再赘述了，可以画出下面的误差响应图，罗马数字1,2，3分别对应过阻尼，临界阻尼和欠阻尼的响应。
有了上面的讨论，对于临界阻尼情况( K_i=K_p^2/4 )，我们总是可以选择 K_p,K_i ，增加 K_p,K_i 使误差响应尽可能快，然而，实际情况的限制也不能让增益取的过大，在满足实际情况下，尽可能使 K_p,K_i 满足临界阻尼条件。
现在来对比一下P控制器和PI控制器，下图显示了P控制器和PI控制器尝试跟踪匀速轨迹的性能，两种情况下的比例增益 K_p 是相同的，而对于P控制器 K_i=0 ,从响应的形状来看，似乎PI控制器的 K_i 选择的大了一些，使系统欠阻尼，但依旧很明显，PI控制器的 e_{ss}=0 ，而P控制器的 e_{ss}\not=0 ，这与上面的分析一致。
如果期望的速度 \dot\theta_d(t)\not=c ，PI控制器就不能完全消除稳态误差，但是，如果期望速度变化缓慢，那么一个设计良好的PI控制器可以提供比P控制器更好的跟踪性能。
左图为跟踪轨迹图，右图为误差响应
进入PID前，先看这个：
如上图，考虑摩擦等阻力，动力学方程就为：
式中：
\\ \tau_{fric}=b\dot \theta,b>0
简写一下，就为：
Feedback Control: PID Control（线性比例-积分-微分控制或PID控制），PID控制器就是PI控制器加上与误差对时间的导数成比例的一项，控制律如下：
上式中增益 K_p,K_i,K_d 都是正的，比例增益 K_p 类似于一个弹簧，试图减少位置误差 \theta_e=\theta_d-\theta ,微分增益 K_d 类似于一个阻尼器，试图减少速度误差 \dot\theta_e=\dot\theta_d-\dot\theta ,积分增益可用于减少或消除稳态误差。PID控制器方块图如图:
（1）PD Control and Second-Order Error Dynamics
如果 K_i=0 ，就称为PD控制，假设机器人在水平面上运动(g = 0)，将PD控制律代入动力学，就有：
如果 \theta_d 是常数，那么 \dot\theta_d=\ddot\theta_d=0 ，那么 \dot\theta_e=-\dot\theta，\ddot\theta_e=-\ddot\theta ，这时候误差动力学为：
写成二阶形式：
那么固有频率和阻尼比就为：
系统要稳定，那么 b+K_d，K_p 就要为正，如果误差动力学方程是稳定的，则稳态误差为零，如果不出现超调和快速响应，增益 K_d 和 K_p 应选择满足临界阻尼情况，如果想要快速响应，应选择尽可能高的满足实际问题的 K_p ，过高的 K_p 可能导致抖振（扭矩快速变化的情况）的发生。
如果其它条件不变，连杆在垂直平面上运动(g > 0)，根据上面的PD控制律，误差动力学可以写成：
观察上式，你会发现在 K_p\theta_e=mgrcos\theta 时，关节将保持静止，即 \theta_d\not=\pm\pi/2 时稳态误差 \theta_e\not=0 ，因为机器人在 \theta_d\not=\pm\pi/2 必须提供一个非零的力矩来保持连杆静止，但PD控制律只有在 \theta_e\not=0 会在静止时产生非零力矩，这就陷入了矛盾，想让稳态误差变成0，但它就不是0，当然我们可以通过增大 K_p 来降低稳态误差，但是，我们上面讨论了， K_p 会受到实际情况的限制，那这种情况该如何解决？PID就出场了。
（2）PID Control and Third-Order Error Dynamics
为了消除稳态误差，我们通过设置 K_i> 0 让控制器化身PID控制器，下图展示了积分项加入控制器的效果：
左图为跟踪效果，中间为比例积分微分项各自的贡献，右图为控制情况
写出误差动力学：
\tau_{dist} 为扰动力矩代替了重力项 mgrcos\theta ，上式两边求导，就有三阶误差动力学：
如果 \tau_{dist} 是常数，那么上式的特征方程为：
如果特征方程的所有根都有负实部，则误差动力学是稳定的，且收敛于零，为了稳定还必须满足以下控制增益条件:
增益 K_i 必须同时满足一个下限和一个上限。合理的设计策略是选择 K_p,K_d 以获得良好的瞬态响应，然后选择 K_i （从下面的根轨迹可以看出 K_i 太大，系统是不稳定的）使其能够减少或消除稳态误差，但又不至于对稳定性产生显著影响，在上面左边那张图可以明显看出效果。
特征方程的根轨迹，讨论就略去了
实际使用中，对于许多机器人控制器 K_i=0 ，因为稳定性是最重要的，可以用其他方法限制积分控制不利稳定的问题，比如integrator anti-windup，对允许的误差积分的大小设置一个限制。
PID控制算法的伪代码如下图：
虽然上述的分析集中于setpoint control，但是PID控制器很好地适用于轨迹跟踪，当然，它不是什么时候都有用，积分控制并不能消除沿任意轨迹的跟踪误差。