【高等代数】线性方程组的解法

Gauss - Jordan 消元法

先化为行阶梯形，再从最下面的一个方程向上回代。
或者化为行阶梯形，再化为行最简形，然后直接写出解。

$n$ 元线性方程组有解 $\Leftrightarrow$ 方程组对应的增广矩阵化为行阶梯形后，不出现 $0 = d$ （其中d为非零数）

原因：如果不出现 “0 = d”，那么用回代法可以立刻解出方程组，即此时一定有解；
而出现 “0=d” 这样的矛盾方程则一定无解。

当 $n$ 元线性方程组有解时，设行阶梯形矩阵的非零行数目为 $r$ ，未知量数目为 $n$ 。若 $r = n$ 则有唯一解；若 $r < n$ ，则有无数个解（ $n$ 个未知量中存在自由未知量）
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画出行阶梯形矩阵的形状，考虑做回代时的过程，很容易得出结论。
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$n$ 元齐次线性方程组要么只有零解，要么有无穷多解。

原因：首先一定有解，因为零解就是一个解。（从行阶梯形来想，也不可能出现 “0=d” ，因为右边全是0）
并且只有一个解的时候，一定是零解，不可能是非零解。因为如果有一个非零解(x1,x2,...,xn)，那么(kx1,kx2,...,kxn)都是方程组的解。
再结合2即可得出结论。

$n$ 元齐次线性方程组方程个数 $s < n$ 时，一定有非零解。

原因：此时化为行阶梯形一定有 r <= s < n，因此有无穷多个解。
那么方程组的解就不仅仅是零解，而是有非零解。