背景概述
所谓“运筹学研究”（Operation Research，OR）是一种针对作业过程的优化研究，通常用来提高效率。该学科大体上可归入工程学的范畴，其重要性在第二次世界大战中得以凸显：它先是被英国，之后又被美国用于反潜战。随着战争的进行，运筹学的使用领域后来又扩大到了空战和地面战争中，甚至在后勤和军工生产等领域也得到了广泛的运用，并为战争的胜利做出了不可磨灭的贡献。
上图：二战期间的运筹学研究人员合影。
在今天，许多工程师仍然将运筹分析视为解决工程问题的有力工具。这门学科使用统计学、概率论、排列论、博弈论、决策分析和数学模型来假设和预测可能发生的工业问题，并在其真正发生时予以解决。一般来说，对某个给定的过程，运筹学专家会首先确定哪种方法最适合，然后通过引入成本和时间方面的约束条件来对最终手段进行一步步的优化。运筹学研究的一大目标是辅助当前的决策者，而不是取代他们做出决定。运筹学本身并不解决具体的技术细节问题，归根结底，它只是让人们认识到问题的所在，并向相关领域的专家寻求帮助以寻找解决方案，最终解决问题的还是其他人和机器。运筹学专家在遇到问题时，采取的分析过程一般如下：
（1）确定问题，并找到适当的切入点。
（2）构建数学模型，并开展数据搜集工作。
（3）推导出最佳解决方案，完善数学模型。
（4）对数学模型进行测试，以查看它是否与解决方案相符合。
（5）实现对解决方案的有效控制，形成文档。
（6）具体实施。
第二次世界大战是正义力量和法西斯反动势力的殊死搏斗，在无数场战役中，运筹学在背后发挥了难以估量的作用。下面，就让我们看看二战期间运筹学研究运用的一些历史史实和例子吧！
英国的运筹学研究
早在第二次世界大战爆发之前，运筹学就被用来协助规划英联邦武装部队的后勤和训练工作。随着法国在1940年6月沦陷于纳粹的铁蹄之下，英国人对运筹学相关领域的研究提出了新的紧迫性需求。这一时期，英国的运筹学专家首次对跨大西洋的船运护航系统进行了测试。由剑桥大学的帕特里克·布莱克特（Patrick Blackett，此人是反物质物理学的先驱）博士领衔组建了一个团队，他们被安排了研究护航船队的工作，看看如何使航运和反潜最有效。
在第一次世界大战期间，英国海军部在开展护航船队的作业优化工作时表现得较为迟缓。不过，在第二次世界大战爆发之初，英国皇家海军很快就开展了这一工作。最初，护航船队的指挥官们针对如何最有效地组织他们的船只进行了辩论，问题集中在这一点上：究竟是派出一支较大的船队还是派出几支较小的船队更合适。大型船队在每次航渡过程中可以由更多的军舰提供掩护。然而，英国海军部反对这种做法，因为军舰的总数是有限的，军方不希望把太多的军舰“捆绑”到护航任务上，而要求把这些军舰“释放”出来以参加海上进攻作战。此外，对任何一支船队而言，其航速将由最慢的那艘船决定，而越大的船队越容易包含各种航速的船；相反，较小的船队可以把航速差不多的船集中在一起，因此可以以更快的速度行驶，从而更好地避开德军的U型潜艇和水面突袭舰艇。
上图：德国海军的U型潜艇艇员。
最终，布莱克特的团队通过研究发现，船队的规模与其生存能力关系不大，而船队中军舰的数量越多，船队的损失相对就越小。基于这一结论，布莱克特团队建议的标准做法是，编成更大的船队，并配备更多的护航军舰。
事物都是两面的，对采用大型船队自然也不乏批评的声音，其中一条主要的理由是这样做会为德军的U型潜艇提供更多的射击目标。不过，面对批评，布莱克特通过统计分析确定，由于敌方潜艇很难一次就击中所有的舰艇，因此只要敌人攻击的命中概率不变，那么在大型船队中，将有更多的船只幸存下来，前提是敌人对每支船队发动攻击的潜艇数量保持不变。
除了对船队大小的研究外，英国人还开展了其他研究，其中一项研究就提出，护航战术的核心是阻止潜艇发动攻击。在战争初期，英国海军的护航任务是击沉德军的潜艇，并基于这一目的设计了深水炸弹的引爆深度。然而，运筹学科学家通过研究确定，因为船队的最终目标是向英国运送物资，而不是摧毁德军的潜艇，因此从统计意义上来说，最好的策略是让敌人的潜艇在仓促发起的攻击中浪费鱼雷，或者完全阻止它们发起攻击，而不是试图击沉潜艇。
上图：遭受盟军深水炸弹攻击的德军U-625号潜艇。
在明确了这一原则之后，运筹学科学家们确定，当前深水炸弹设定的引爆深度并不是最优解，也无法有效攻击、威慑德军的潜艇。当时，英国海军深水炸弹的引爆深度是针对让炸弹最能将爆炸威力传递到水下区域而设定的。但事实上，英国军舰只要发现德军的U型潜艇在水面航行或在较浅的深度潜航就会发起攻击，并迫使后者下潜，而深水炸弹下沉的速度快于潜艇，因此深水炸弹在最合适的深度引爆时，潜艇还未下潜到这一深度。通过重置深水炸弹的引爆深度（在较浅的深度引爆），英国海军的反潜成功率翻了一番。
“交换率”（exchange rate）和“有效率”（effectiveness ratios）这两个术语也是来自运筹学，它们被用来定义为了达成既定目标而对时间的最大化有效使用。这两个概念的核心用途之一是研究飞机对船队的掩护。运筹学研究人员计算了盟军飞机的飞行小时数，并将其与特定区域的德军U型潜艇目击数进行了比较。通过研究这些数字，可以重新分配飞机，以便更有效地覆盖更大的海域，并且能够将兵力集中于U型潜艇活动频率较高的海域。
布莱克特的团队还与英国皇家空军轰炸机司令部合作，研究了从德国执行任务返回的受损轰炸机的情况。英国皇家空军之前曾研究了机身上遭受敌人火力伤害最严重的部分，并认为他们应该在这些部位上加装更多的装甲，可惜这对降低飞机的战损率没有帮助。经过一番研究后，运筹学小组提出了一个反直觉的解决方案，他们建议将装甲加在没有被敌人击中的机体部分上。布莱克特团队的推断是，这些部位才是真正重要的部位，一旦这些部位被击中，飞机就会被击落并坠毁在敌人的领土上（因此不会返回英国）。英国皇家空军最初研究的缺陷是，只考虑了返航飞机的情况，却忽视了实际损失的飞机。
上图：一场战斗结束后，地勤人员正在检查这架轰炸机的受损情况。
运筹学科学家们还致力于研究轰炸机大编队战术，其目的是压倒纳粹德国的“卡姆胡贝尔防线”，这是德军用雷达和受地面机构引导的夜间战斗机组成的防空系统，该系统曾给英国皇家空军的轰炸机编队造成过沉重的打击。英国运筹学研究团队确定了轰炸机编队飞行时的精确间隔距离，这样既可以最大限度地避免飞机之间发生碰撞，也降低了遭到敌人夜间战斗机拦截的概率。
1944年，在诺曼底登陆战役期间，一些专门组建的运筹学研究团队也跟随加拿大和英国军队一同踏上了西欧的土地。这些陆军运筹学研究小组（Army Operation Research Group，缩写为AORG）是由英国供应部派出的，他们直接从前线获取和积累数据。AORG团队跟随盟军部队一同向前推进，一路上分析和汇编有关炮击、空中轰炸和反坦克战术有效性的情报。他们将数据发给身在英国的同事，后者仔细研究了这些数据，以便提出最优的改进和训练方法。
美国反潜战运筹学研究小组
美国海军的运筹学团队很早就组建并开始工作了，不过他们与其英国同行的任务略有差异。总的来说，美国海军指挥高层强烈支持集中兵力寻歼敌人的潜艇，因此他们在已有的科学研究和发展办公室内成立了“反潜战运筹学研究小组”（Anti-Submarine Warfare OperationsResearch Group，缩写为ASWORG）。该小组由普林斯顿大学的菲利普·麦考德·莫尔斯（Philip McCord Morse）博士组建，其任务是确定在船队遭受攻击之前摧毁德军U型潜艇的最佳方法。
最初，反潜战运筹学研究小组的调查人员试图通过详细的分析来解决这个问题。然而，他们很快就发现，由于他们的研究过于局限在现有情报上，因此在很大程度上是无效的。也就是说，他们的主要数据来源是攻击过U型潜艇的每艘军舰在战斗结束后提交的行动报告。参与战斗的每艘军舰都被要求提交一份“事故报告”，并对其中的数据进行分析。在评估每次反潜作战的战术有效性时，报告撰写者对给敌人潜艇造成的损害分类如下：
A：确认击沉；B：可能击沉；C：可能击沉或击伤；D：可能击伤；E：可能略有损坏；F：给敌人潜艇造成损坏的证据不足；G：没有造成损坏；H：不确定攻击时是否有潜艇存在；I：攻击的目标不是潜艇；J：评估证据不足。
基于分析的目的，上述评估分类通常又会进行如表1所示的分级：
表1. 对给敌人潜艇造成的损害的分级
纳粹德国投降后，曾向同盟国提供了一份U型潜艇的战损清单，其中包括艇长的名字以及沉没的日期和位置。如表2所示，评估结果“A”和“B”的总数确实与第二次世界大战期间敌方潜艇的总损失数相当吻合。“A”和“B”类评估结果与德国清单中显示的战损情况比较如下：
表2. 盟军的评估结果与德国提交的清单的对比
然而，在当时，运筹学研究人员必须在分析中引入若干其他因素。其中，最值得注意的是，由于那个年代舰载声呐远不像今天的那么精密，因此出现了许多错误的目击报告，导致几乎所有的“H”“I”和“J”类报告被剔除而不予考虑。这是一个很大的问题，因为在这些类别的报告中，无疑有不少实际发生的与潜艇的战斗，但只是没有得到确认而已，仅仅因为这样便不得不放弃对这些数据的研究显然太遗憾了。美国海军给U型潜艇造成的损害程度也很难确定，因为在船队航渡时，各艘舰船不会停留在战斗海域附近，必须尽可能快地保持机动，因此很难对战果进行确认。
总之，对反潜战运筹学研究小组来说，可用于研究如何攻击敌方潜艇的数据不足，以至于他们无法可靠地重现每次攻击的细节。为了解决这个问题，研究人员分解了报告中的各种因素，试图确定不同具体条件和战术的影响。更让他们感到束手无策的是，在战斗中没有记录下准确的数据，战斗过后的回忆往往是错误的、模糊的和充满矛盾的。
有鉴于此，反潜战运筹学研究小组必须使用宏观统计数据进行评估，同时考虑不同攻击方法的影响，并将所有这些与战斗过后提交的报告中的数据进行比较。为了做到这一点，小组成员基于两个普遍性因素进行了调查：攻击误差和武器的杀伤力。
首先，在考虑攻击误差因素时，他们必须考虑许多变量，如海况、声呐操作人员的训练情况、军舰的侧倾角和俯仰角、参战舰艇类型及其声呐装置的性能等。敌人U型潜艇艇员的作战经验是一个必须被排除的因素，因为其无法可靠地量化。
其次，武器的杀伤力被表示为一系列有效性指标。在这方面，反潜战运筹学研究小组注意到，针对给定的目标潜艇，发起攻击的军舰越多，目标潜艇就越有可能被击沉。他们很快就确定，每增加1艘攻击德军U型潜艇的军舰，潜艇受损或被击沉的概率相应地就会增加5%。更多的军舰也意味着可以更长时间地与敌人的潜艇保持“接触”，从而增加了将其击沉的概率（见表3）。
表3. 美军军舰协同发起攻击与独立攻击的战果对比
根据所有以上这些考虑，反潜战运筹学研究小组最终确定了反潜战中必须注意的几个关键因素：通过改进声呐设备的设计指标和对其操作人员进行适当的培训，可以获得良好的攻击准确性；再加上集中起最大可用数量的军舰，集中最大限度的反潜火力，还有就是进一步提升反潜武器的命中精度，就能做到使敌人的U型潜艇被击沉的概率最大。
飞机与潜艇的对决
在从空中巡逻的角度考虑反潜战时，反潜战运筹学研究小组发现，还有其他一些问题需要解决。首先可以确定，飞机非常适合用来攻击德军的U型潜艇。不幸的是，一旦潜艇潜入水下，那么对其进行空中跟踪几乎是不可能的；而一旦U艇艇长意识到自己被一架飞机发现，他就会立刻命令潜艇下潜。这意味着，研究人员必须最大限度地提高飞机发现在水面上航行的潜艇的效率。反潜战运筹学研究小组研究的某些问题就是如何才能让飞机在攻击敌人的潜艇时获得最佳的突然性，以及如何缩短U型潜艇在遭受飞机攻击前不得不潜航的时间。
必须找出和消除攻击误差，正如担负反潜任务的水面舰艇正在尽力去做的那样。对在水下潜航的U型潜艇而言，比起摆脱攻击它的水面舰艇，摆脱飞机要快得多。一艘德军的U型潜艇在水下可以以3到7节的速度（约5.6至13千米/小时）行驶，在被发现和紧急下潜后的1分钟内，这艘潜艇有可能位于一片2.7万至14.7万平方米的海域的任何地方。
上图：盟军在港口部署的搜潜气球。
美国海军针对向德军的U型潜艇发起攻击的情况的不同，进行了如下分类：A类攻击是在U型潜艇仍然在水面航行或下潜时间不足15秒时发动的攻击；B类攻击是在U型潜艇下潜时间为15至30秒时发动的攻击；其他所有的攻击类型都被归入C类，因为这类攻击成功击沉潜艇的可能性约等于零。
不出所料，反潜战运筹学研究小组的分析师们得出的第一个结论是，飞行员应努力发动尽可能多的A类攻击，所涉及的因素包括：最佳速度和高度，从云层接近，伪装以及使用反制措施来屏蔽雷达辐射。研究人员还努力确定了德军U型潜艇警惕性最低的时间，以及如何让飞机在U艇艇员意想不到的地方发起突然攻击。开展具有突然性的快速攻击是使飞机能成功对抗U型潜艇的关键。表4所示为德军潜艇不同潜航状态与受攻击情况。
表4. 德军潜艇不同潜航状态与受攻击情况
研究人员早期发现的另一个因素是需要提高飞机轰炸瞄准的精度，也就是说，当某架飞机在轰炸U型潜艇时，它必须离开其原先较高的搜索高度，并通过俯冲的方式接近目标。在战争的早期阶段，飞机始终保持水平飞行，上面的投弹手只能对目标（潜艇）的位置做出尽可能准确的估计，然后投下炸弹，是否能命中目标则听天由命。评估显示，这种投弹方式很难保证准确性：在水平飞行的飞机上进行“目视”瞄准投弹时，炸弹之间的散布程度高达66英尺×14英尺（约86平方米）至40英尺×25英尺（约100平方米），但使用俯冲瞄准投弹的方法可以将散布误差降低到16英尺×16英尺（约24平方米）的范围。
轰炸瞄准的精度只是此类研究的一部分。运筹学研究人员还调查了在飞机上如何挂载弹药（挂在弹舱中还是挂在机翼下）才能确保以最有效的方式投向敌人的U型潜艇。炸弹的外形也进行了重新设计，使得它们可以以最理想的散布误差命中目标。研究人员还发现，炸弹重量越轻，其击中目标的概率越大。
比斯开湾的空中反潜战
1942年，反潜战运筹学研究小组提议，在比斯开湾上空进行一次进攻性空中巡逻作战。对德军潜艇部队而言，比斯开湾是一处非常重要的海湾，因为它是部署在法国布雷斯特港、洛里昂港和圣纳泽尔港的德国U艇部队前出攻击跨大西洋航运的主要集结区。美军希望，对比斯开湾发动一场多军种空袭可以使进出前述基地的德军潜艇遭受重大损失。如果不出意外，盟军的空袭会迫使德军潜艇以潜航状态航行，从而延长它们穿越海湾的时间，进而减少德军潜艇在大西洋上的作战时间，以及增加德军艇员和设备的疲劳与磨损。盟军运筹学研究小组认为，即便建立一条300英里（约480千米）长的空中巡逻区（这也是德军的U型潜艇在水下最长的潜航距离），仍会给敌人留下13个小时的水面航行时间。
表5. 德军U艇每次航渡过程中的水面航行天数（注：1节=1.852千米/小时）
通过研究，运筹学研究人员提出了一套算法，该计算方法确定了比斯开湾地区德军U艇每月的总进出时间，然后除以接触次数的数学预期值，从而得出了有效覆盖海湾需要多少飞行小时的基础数据。此外，盟军还对各种搜索德军潜艇的武器装备的有效性进行了量化。通过公式计算，盟军的运筹学研究团队最终确定，在比斯开湾的航空反潜部队需要装备40架飞机，每架飞机都要配备雷达，以跟踪每艘进出该海区的德军U艇。
上图：比斯开湾的德军潜艇基地与盟军反潜飞机的猎杀航线。
在盟军空袭攻势的第一阶段，投入的兵力为10架配备大功率探照灯和米波雷达的“惠灵顿”轰炸机。在第一个月的战斗中，这些飞机探测到了约40%的U艇的进出活动。然而，在接下来的几个月里，这一数字却下降到了不足10%。这部分是由于冬天海上恶劣的天气，更是因为德国人很快为他们的U型潜艇研制和装备了“梅托克斯”雷达接收机，这使得德军可以在夜间安全地驾驶潜艇在海面航行，一旦探测到盟军飞机来袭再潜入水下。1943年春，“惠灵顿”轰炸机重新配备了精度更高的厘米波雷达，且“梅托克斯”装置无法接收到厘米波雷达信号，结果到当年的6月份，德军全部（100%）的潜艇进出活动都被探测到了。
表6. 比斯开湾空中反潜战的战果
结论
客观地讲，我们很难准确评估运筹学研究对战争进程的影响程度。对作战行动的规划和科学研究毫无疑问直接影响了武器的使用效率，从而挽救了盟军士兵的生命，缩短了战争时间。第二次世界大战结束后，军事运筹学研究被重新命名为“作战分析”（operational analysis，OA）。该领域的先驱者们还在继续担任工业和商业领域的职务，作战分析的相关课程也开始在大学讲授，并扩展到了战略规划、后勤和兵员招募领域。
在今天的战场上，作战分析还在继续发挥重要的作用。在伊拉克战争中，美军通过使用运筹学分析技术，结合照相侦察和无人机监测，大大减少了被简易爆炸装置炸伤和炸死的士兵人数。通过观察护航路线并寻找日常差异，发现伏击并反击伏击，找到简易爆炸装置，减少了物质损失和伤亡人数。恐怖主义、不对称战争和预算问题的挑战仍然为运筹学专家提供了大量机会，使他们能够继续为战争服务。
附：二战期间英美运筹学领域的几位关键人物
（1）乔治·埃尔伯特·金博尔（George Elbert Kimball，1906.7.12~1967.12.5）。金博尔于1906年出生于美国芝加哥，他在普林斯顿大学学习了量子力学，并于1932年获得了该校授予的博士学位。1943年，他被军方招募，以协助反潜战运筹学研究小组研究德军U型潜艇的袭击活动对跨大西洋航运的影响。不久，他便升任该小组的副总监。反潜战运筹学研究小组后来改名为“运筹学研究小组”，并被派往太平洋战场，他们在那里研究了美军潜艇如何对日本发起攻势。他们还致力于研究如何有效地防御日军发动的“神风”自杀式攻击。菲利普·麦考德·莫尔斯在评价金博尔时说：“在日常工作中，金博尔能力超群，他常常扮演教育者的角色，他仿佛是本通用的科学百科全书，以及快速解决棘手问题的简单算法的设计者。”第二次世界大战结束后，金博尔因其优异的贡献而荣获总统嘉奖，并当选为美国科学院院士。
上图：乔治·埃尔伯特·金博尔。
（2）菲利普·麦考德·莫尔斯（Philip McCord Morse，1903.08.06~1985.09.05）。莫尔斯既是一位物理学教授，也是一位政府公职人员，被誉为是“美国运筹学之父”。1926年，莫尔斯在普林斯顿大学获得了物理学博士学位。1942年，他组织成立了“反潜战运筹学研究小组”。用莫尔斯自己的话描述他当时的工作就是：“在反潜战运筹学研究小组中，最初的工作涉及如何搜索潜艇，以及在轰炸德国U型潜艇时深水炸弹的最佳布放方式（即从海面上看各炸点组成什么样的几何图案最佳）。在很短的时间内，该小组就研究出了驱逐舰攻击敌人潜艇的战术模式，还研究了关于飞机目视发现潜艇的可靠性问题，以及是否要派出驱逐舰部队协助等相关问题。”
莫尔斯和金博尔共同撰写了美国第一部运筹学教科书《运筹学方法》（Methods of Operations Research）。美军用原子弹轰炸广岛之后，莫尔斯是第一批收到“斯迈思报告”（Smythe Reports）副本的人之一，这是一份关于原子弹研制工作的报告。在24小时之内，莫尔斯和金博尔向美国海军总司令欧内斯特·金海军上将汇报了原子武器对海军作战的影响。他们还就此问题向海军部长和参议院海军事务联合委员会作了简报。二战结束后，莫尔斯在国家研究委员会任职，并成为美国运筹学会的创始人。他还为著名智库兰德公司做过研究，并为美国国防分析研究所工作过。战争期间，莫尔斯因贡献突出而荣获总统嘉奖。
上图：菲利普·麦考德·莫尔斯。
（3）弗雷德里克·阿尔弗雷德·派尔爵士（Sir Frederick Alfred Pile，1884.09.14~1976.11.14）。派尔爵士是一位空军将领，也是英国防空司令部的头头。防空司令部的任务是保卫英国不受空中轰炸。派尔出生在都柏林，是第一任都柏林男爵兼市长的三个儿子中的长子。第一次世界大战期间，他先是在皇家骑炮兵中服役，担任炮兵阵地指挥官，并于1914年参加了蒙斯战役。他曾在皇家炮兵部队中担任过各种不同的参谋职务，还荣膺军功十字勋章和杰出服役勋章。他于1923年转到皇家坦克兵团（RTC）服役，因为在炮兵部队任职期间，他的创新思想根本得不到保守的传统军官的好评。在皇家坦克兵团服役期间，他因颇具胆识而获得了“大胆指挥官”的声誉，因为他总是敢于冒险而在战斗中获胜。之后，他转入战争办公室，在那里，他成了英国陆军顶尖的坦克设计师之一。1939年，他接管了防空司令部，并在这个职位上一直干到退休。在防空司令部，他参与了运筹学研究，他那种与科学家合作共事的能力非常珍贵，并且借此为运筹学研究团队带来了许多成功。在他的努力下，研究人员制订了一项拦截德国V-1导弹的计划。派尔爵士还制定了一项用雷达引导炮火拦截V-2导弹的计划，但由于担心残骸落在伦敦，计划遂告吹。
上图：弗雷德里克·阿尔弗雷德·派尔爵士。
（4）帕特里克·梅纳德·斯图尔特·布莱克特（Patrick Maynard Stuart Blackett，1974.11.18~1974.07.18）。布莱克特是影响英国运筹学发展的主要人物之一。他出生在伦敦地区的肯辛顿，第一次世界大战期间担任皇家海军上尉，并在福克兰群岛战役和日德兰海战中担任炮兵军官。战争结束后，他抓住机会参加了剑桥大学的教育课程，不久之后他辞去军职，专心从事数学和物理学研究。1921年毕业后，他继续从事学术工作，并成了世界上研究反物质的第一人。
布莱克特曾加入英国航空研究委员会，并帮助军方游说政府部门在英国本土安装防空雷达。后来他还研制了Mk ⅩⅣ型轰炸瞄准装置，该装置可使轰炸机在投弹时不必始终保持水平飞行，从而降低了被敌人预测航路并击落的概率。1940年8月，布莱克特加入了派尔爵士领导下的防空司令部，在那里，他开始了后来被称为“运筹学”的研究工作。1942年到1945年间，他担任英国海军部的运筹学总监一职。他曾批评英国皇家空军开展的大规模地毯式轰炸行动是“无效的”。战争结束后，他加入了工党，并获得了1948年的诺贝尔物理学奖。他还担任过印度总理贾瓦哈拉尔·尼赫鲁的顾问。
上图：帕特里克·梅纳德·斯图尔特·布莱克特。
【后记】本文原文刊载于2010年2/3月刊的美国《大战中的世界》（World at War）杂志上，原作者是大卫·马奇（David March）。译文所配图片有改动。另，原文可能有若干数据计算错误，在此遵照原文译出，未予改动。
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