使用牛顿迭代法求根 一元三次方程的根

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f’(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f’(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f’(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f’(x (n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f’(x0)+(x－x0)^2*f”(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f’(x0)(x－x0)=f(x)=0 设f’(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f’(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f’(x(n))。

//由于算法的限制，这个程序求得的根并不能保证一定是距输入估计值最近的根,但一定是方程的根

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#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>//调用了fabs、pow函数
using namespace std;
 
double f( int , int , int , int , double ); //函数声明
double f1( int , int , int , int , double );
double get_solution( int , int , int , int , double );
 
int main()
{
int a,b,c,d;
double solution,solution_value;
 
cout<< "pls input the parameters of the equation a,b,c,d;and the estimate x" <<endl;
cin>>a>>b>>c>>d>>solution;
 
solution_value=get_solution(a,b,c,d,solution);
if (solution_value<=1e-5) //当求得的根很小时，直接让它为0
solution_value=0;
cout<< "the solution near " <<solution<< " is " <<solution_value<<endl;
 
getchar ();
return 0;
 
}
 
double f( int w_f, int x_f, int y_f, int z_f, double sol_f) //当根为x时，用来求f(x)的值
{
double f_result=w_f* pow (sol_f,3)+x_f* pow (sol_f,2)+y_f*sol_f+z_f;
//cout<<"f_result is "<<f_result<<endl; //调试时用
return f_result;
}
 
double f1( int w_f1, int x_f1, int y_f1, int z_f1, double sol_f1) //当根为x时，用来求f'(x)的值
{
double f1_result=3*w_f1* pow (sol_f1,2)+2*x_f1*sol_f1+y_f1;
//cout<<"f1_result is "<<f1_result<<endl;//调试时用
return f1_result;
}
 
double get_solution( int w, int x, int y, int z, double sol) //求根函数，调用了上面两个函数
{
double value,tmp;
 
value=sol;
do //使用了x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断循环逼近
{
tmp=f(w,x,y,z,value);
value=value-tmp/f1(w,x,y,z,value);
 
//cout<<"funciont_value is "<<tmp<<";value is "<<value<<endl;//调试时用
} while ( fabs (tmp)>=1e-5); //当式子的值与0的绝对值小于1e-5时就认为取到了值
 
return value;
}

测试例子：ax^3 +b x^2+cx+d=0,所以运行时候分别输入a=2,b=1,c=1,d=-14,以及求X在某个值附近的根，比如2.1

pls input the parameters of the equation a,b,c,d;and the estimate x
2 1 1 -22
2.1
the solution near 2.1 is 2

pls input the parameters of the equation a,b,c,d;and the estimate x2 1 1 -222.1the solution near 2.1 is 2


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