乘方数列与自然数列的对比关系
从数列角度寻找突破口，将费尔马猜想“撸到底”
(一)
从立方数列分析中，找到7的立方数，大于6与5两数的立方和，343＞216+125=341；而7的立方数，又小于6的方立数加上又一个6的立方数：343＜216+216=432；得出小于7的立方数，不可能是两个整数的立方和；至小是三个立方数的和。于是就得到：6的立方数是5、4、3这三个数的立方和。即
6*6*6 = 5*5*5 + 4*4*4 + 3*3*3 = 216
216 =125+64+27= 6^3= 5^3+4^3+3^3。
从而突破费尔马猜想”对“两个加数”的限制，马上就从“车到山前无路”，转眼就见“柳暗花明又一村”。
于是又找到：9的立方数是8、6、1三个数的立方和。即9*9*9 = 8*8*8 + 6*6*6 +1*1*1 =729 = 512+216+1；而且可得出：9^3= 8^3+6^3+1^3 = 8^3+ 5^3 +4^3+ 3^3+ 1^3
这只是将6^3=5^3+4^3+3^3代入9^3= 8^3+6^3+1^3 中即可。
这证明，大于7的立方数，只要不限制于“两个数”的立方和，也可找到整数解。而这些“整数解的整倍数，也都是“整数解”。
最后，只剩下硬要限于“两数”之和，“费尔马猜想”还有没有整数解？这已不将立方数看成是立方体的体积数，而仅是自然数的三次乘方来看；这样的一个乘方数，能不能等于两个数的立方和？有没有整数解？这就需回头再来看乘方数列的分析。
自然数列：以1为起点，以1为公差，逐项递增1的无限数列。如n： 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 、……n
偶数列：以自然数列为基础，每项乘以同一偶数(2、或4、…)的数列；如以2为首项，以2为公差的，每项递增2的无限数列。 如2n：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20……
奇数列：以1为起点，公差为2的奇数列；或以等差为2的偶数列为基础，逐项减1或加1的同一奇数的数列。
如以偶数列为基础逐项减1的基础奇数列： 如2n-1：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19……
如偶数列逐项减1的奇数递增数列：
如2n+1数列：3、5、7、9、11、13、15、17……
如公差为5的奇数递增数列：如2n+3的数列：
5、7、9、11、13、15、17、19、23……
公差为d的等差递增数列，含有等差奇数和等差偶数列(简称等差列)；：如n+d：1+d、2+d、3+d、4+d、5+d、6+d、7+d……
等比数列np：1p、2p、3p、4p、5p、6p、7p、8p、9p……
等指数数列npn：
平方数列n2 ：1*1、2*2、3*3、4*4、5*5、6*6、7*7……n*n
立方数数n3 ：1*1*1、2*2*2、3*3*3、4*4*4、5*5*5……n*n*n
平方数列n2幂 ：1、4、9、16、25、36、49、64、81、100……；
立方数数n3 幂 ：1、8、27、64、125、216、343、512、729……；
对比一、二、三、加数式的情：
x+y=z ， x2+y2=z2， x3+y3=x3
那么：1+2=3，2+3=5，3+4=7，4+5=9，5+6=11，6+7=13………；
但是平方幂式数列：
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100；
1*1+2*2=5、2*2+3*3=13、3*3+4*4=5*5=25、4*4+5*5=41、5*5+6*6=61、6*6+7*7=85、7*7+8*8=113、8*8+9*9=145、9*9+10*10=181、6*6+8*8=10*10 =100 ……
立方幂式数列：
1、8、27、64、125、216、363、512、729、1000；
1*1*1+2*2*2=9， 2*2*2+3*3*3=35，3*3*3+4*4*4=91；
1000 = 512 + 363 +125 = 8*8*8 + 7*7*7+ 5*5*5
=10^3=8^3+7^3+5^3 ；(10的立方数之内又一整数解)。
也就是说n + n ≠ n*n ≠ n*n*n；例如1+2≠1ˇ2+2ˇ2≠1ˇ3+2ˇ3；
而且2-1=1，2ˇ2-1ˇ2=3，2ˇ3-1ˇ3=7；
也就说它们的项差分别为：1、2+1、3*2+1；
3-2=1，3ˇ2-2ˇ2=5，3ˇ3-2ˇ3=19，
项差分别为：1，2*2+1，3*2*2+3*2+1
用代数式表示：1，2n+1，3n*n+3n+1
现在从乘方数列的加法代数式与自然数列的对比分析看：
后继项减去前项的项差：
自然数列的项差： (N+1)- N = 1 ； 平方数列的项差： (N+1)2- N 2 = 2N +1 ； 立方数列的项差： (N+1)3- N3 = 3N2 +3N+1 ；
后继项除以前项的项比：
自然数列的项比： (N+1)/ N = 1+1/N ； 自然数列的偶数项比： (2N+2)/2N = 1+2/2N =1+1/N ；
平方数列的项比：
(N+1)2/N 2 =［(N+1)/N ］*［(N+1)/N
=(1+1/N)(1+1/N)= 1+2/N +1/N2 ；
立方数列的项比：
(N+1)3/ N3 =［(N+1)/ N］*［(N+1)/ N］*［(N+1)/ N］=1+ 3/N +3/N2+1/N3 ；
其实，证明“费尔马猜想”有整数解，也就是证明三次乘方数列的项差可以等于另一项的幂(该项的三次乘方数)。
这不只是计算问题，而且涉及排列组合与搭配问题，项与项的间隔比例问题，函数与对数问题。
一、三次乘方数列的项差： (N+1)3- N3 = 3N2 + 3N +1 ； 是二次函数式的变量，在变量N取最小数量1时，最小的项差是7；N分别取1至10时，所得项差为：
立方数n3 幂 ：1、8、27、64、125、216、343、512、729、1000；
立方幂的项差：7、19、37、61、91、127、169、217、271、331；
1^3=1^3+0^3=0^3+1^3 ； (这也是整数解)
2^3=1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3+1^3 ；(八个数的立方和)。
3^3=2^3+2^3+2^3+1^3+1^3+1^3 ； (六个数的立方和)。
4^3=3^3+3^3+2^3+1^3+1^3= 64 = 27 + 27 + 8 + 1+ 1；
(五个数的立方和)。
5^3=4^3+3^3+2^3+2^3+2^3+2^3+1^3+1^3
= 125 = 64+27+8+8+8+8+1+1；(八个数的立方和)。
6^3=5^3+4^3+3^3= 216 =125 + 64 + 27；
(三个数的立方和)。
7^3=6^3+5^3+1^3+1^3 =343=216 +125 +1+1；
(四个数的立方和)。
8^3=512=343+125+27+8+8+1=7^3+5^3+3^3+2^3+2^3+1^3；
(六个数的立方和)。
9^3=8^3+6^3+1^3=729=512+216+1 ； (三个数的立方和)。
10^3=9^3+6^3+3^3+3^3+1^3=729+216+27+27+1
这样一一列式，让人感到似乎是在跟“费尔马猜想”开玩笑；又似乎在为“华林猜想”免费”作广告。但这确实证明：排列与组合、搭配是可以解决“乘方数列的项与项的和差，获得整数解”的方法之一。