复变函数（3）-复变函数的积分

桃李春风一杯酒，江湖夜雨十年灯
 
 
 

3.1 复积分的定义：

设$f(x)=u(x)+v(x)i$是定义在区间$[a,b]$上的连续函数，称
$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}u(x)dx+i{\int }_a^{b}v(x)dx$$ 为$f(x)$在区间$[a,b]$上的积分。其中${\int }_a^{b}u(x)dx$和${\int }_a^{b}v(x)dx$是通常意义上的定积分。

3.2 复变函数的曲线积分：

设$C$为复平面内的有向光滑曲线，其参数方程为$z=z(t)(a\le t\le b)$。函数$w=f(z)$在曲线上连续。称
$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_a^{b}f[z(t)]dz(t)={\int }_a^{b}f[z(t)]z^{\prime }(t)dt$$ 为$f(z)$沿曲线$C$的积分。其中$f(z)$称为被积函数，$C$称为积分曲线。如果$C$为闭曲线，那么沿此闭曲线的积分记为${\oint }_{C}f(z)dz$。
令$C$为以$z_0$为中心，$r$为半径的正向圆周，$n$为整数，有
$${\oint }_C\frac{1}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz=\{\begin{array}{rlr}& 2\pi i,& n=0\\ & 0,& n\ne 0\end{array}$$

3.3 复积分的物理意义：

设函数$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$为连续函数，曲线$C$的参数方程为$z(t)=x(t)+y(t)i(a\le t\le b)$，则
$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_C(udx-vdy)+i{\int }_C(vdx+udy)$$ 从而对于共轭函数$\overline{f(z)}$有
$${\int }_C\overline{f(z)}dz={\int }_C(u(x,y)dx+v(x,y)dy)+i{\int }_C(-v(x,y)dx+u(x,y)dy)$$ 令$\phi ={\int }_C(u(x,y)dx+v(x,y)dy)$和$\psi ={\int }_C(-v(x,y)dx+u(x,y)dy)$，则有
$$\phi =Re[{\int }_C\overline{f(z)}dz],\psi =Im[{\int }_C\overline{f(z)}dz]$$ 在物理学中$\phi$和$\psi$都是重要的基本物理量。如果$f(z)$是一个力场，则$\phi$表示了场力沿有向曲线$C$做的功；如果$f(z)$表示一个流速场，且$C$是闭曲线，那么$\phi$表示了流体沿曲线$C$正向的环流量，$\psi$表示了流体从曲线$C$内部流向外部的通量。

3.4 复积分的性质：

(1)设$k$和$\lambda$为常数，则
$${\int }_C[kf(z)\pm \lambda g(z)]dz=k{\int }_{C}f(z)dz\pm \lambda {\int }_{C}g(z)dz$$ (2)设$C^{-}$为$C$的负向曲线，则
$${\int }_{C}f(z)dz=-{\int }_{C^{-}}f(z)dz$$ （3)设曲线$C$:$z=z(t)(a\le t\le b)$的长度为$L$，函数$f(z)$在曲线$C$上有界，即存在正数$M$，使得$|f(z)|\le M$，那么
$$|{\int }_{C}f(z)dz|\le {\int }_a^b|f(z(t))||z^{\prime }(t)|dt\le ML$$

3.5 柯西积分定理：

如果函数$f(z)$在单连通域$D$内处处解析，那么函数$f(z)$沿$D$内的任何一条封闭曲线$C$的积分为$0$，即
$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$

3.6 闭合复路定理：

设函数$f(z)$在多连通域$D$内解析，$C$是$D$内的一条简单闭曲线，$C_1,C_2,\cdots ,C_n$是在$C$内部的简单闭曲线，它们互不相交也互不包含，并且以$C$以及$C_1,C_2,\cdots ,C_n$为边界的区域全含于$D$，则
$${\oint }_{C}f(z)dz={\oint }_{C_1}f(z)dz+{\oint }_{C_2}f(z)dz+\cdots +{\oint }_{C_n}f(z)dz$$ 如果记$\Gamma$为$C,C_1,C_2,\cdots ,C_n$所围区域的正向边界曲线，则
$${\oint }_{\Gamma }f(z)dz=0$$ 对于$C_1,C_2,\cdots ,C_n$中的任一$C_m$，如果它所围的区域除了孤立奇点$z_0$处处解析，那么为了计算${\oint }_{C_m}f(z)dz$，可以参考公式
$${\oint }_{C_m}\frac{1}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz=\{\begin{array}{rlr}& 2\pi i,& n=0\\ & 0,& n\ne 0\end{array}$$ 从而将$f(z)$化为$\frac{1}{(z-z_0{)}^{n+1}}$的形式进行计算。

3.7 定积分：

若函数$f(z)$在单连通域$D$内处处解析，则积分${\int }_{C}f(z)dz$在区域$D$内和积分路径$C$无关，只与起点和终点有关。从而固定起点$z_0$，可以定义一个$D$内的单值函数$F(z)$，有
$$F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )d\zeta$$ 从而函数$F(z)$在区域$D$内也是解析的，且$F^{\prime }(z)=f(z)$.

3.8 不定积分：

$F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(\zeta )d\zeta$是$f(z)$的一个原函数。$f(z)$的全体原函数可以表示为$F(z)+c$，称为$f(z)$的不定积分，记作
$$\int f(z)dz=F(z)+c$$ 如果函数$f(z)$在单连通域$D$内解析，且$F(z)$是$f(z)$的一个原函数，那么对$D$内任意两点$z_1,z_2$，有
$${\int }_{z_1}^{z_2}f(z)dz=F(z_1)-F(z_2)$$

3.9 平面向量场的复势：

设函数$f(z)=u(x,y)+v(x,y)i$为单连通域$D$内的平面向量场，且$u(x,y)$和$v(x,y)$具有一阶连续偏导数。
称$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}$为向量场$f(z)$的散度，记为$divf(z)$，若$divf(z)=0$，称$f(z)$为无源场；称向量$(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})\vec{k}$为向量场$f(z)$的旋度，记为$rotf(z)$，其中$\vec{k}$为垂直于场平面的单位向量。若$rotf(z)=0$，称$f(z)$为无旋场。
若$f(z)$在区域$D$中既是无源场又是无旋场，那么
$$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}$$ 从而根据柯西-黎曼定理，$\overline{f(z)}=u(x,y)-v(x,y)i$在区域$D$内解析，设$F(z)=\phi (x,y)+\psi (x,y)i$是$\overline{f(z)}$的原函数，则
$$F(z)=\int \overline{f(z)}dz,\overline{f(z)}=F^{\prime }(z)$$$$\phi (x,y)=Re\int \overline{f(z)}dz,\psi (x,y)=Im\int \overline{f(z)}dz$$ 其中$\phi (x,y)$称为向量场$f(z)$的势函数，等值线$\phi (x,y)={\lambda }_1$称为向量场$f(z)$的等势线；$\psi (x,y)$称为向量场$f(z)$的流函数，等值线$\psi (x,y)={\lambda }_2$称为向量场$f(z)$的流线；函数$F(z)$称为向量场$f(z)$的复势。此时$\phi (x,y)$和$\psi (x,y)$构成共轭调和函数，所以$f(z)$称为调和场。

3.10 柯西积分公式:

如果$f(z)$为区域$D$内的解析函数，$C$为$D$的任意一条正向简单闭曲线，它的内部全部含于$D$，$z_0$为$C$内任意一点，那么
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$

3.11 高阶导数公式：

如果$f(z)$为区域$D$内的解析函数，那么它的各阶导数均为$D$内的解析函数，$C$为$D$的任意一条正向简单闭曲线，它的内部全部含于$D$，$z_0$为$C$内任意一点，那么
$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz(n=1,2,\cdots )$$