约瑟夫环

【问题】n个小孩，编号1~n，站成一圈玩游戏。从编号1的小朋友开始，顺时针1,2,3报数，报到3的小朋友出列。他的顺时针方向下一个小朋友重新开始1,2,3报数。
游戏一直这样进行下去，直到队列里只剩下一个小朋友。
求最后剩下的小朋友的编号。

分析：
为了用数组操作方便，可以把游戏改为如下等价效果的玩法：

1. 一个小朋友从队头跑到队尾，
2. 再一个小朋友从队头跑到队尾，
3. 从队头删去一个小朋友。
   … 再重复这个过程，直到队里只有一个人。

它对应的python 解法：

def josephus(n):
	a = []
	for i in range(1,n+1): a.append(i)

	while len(a) > 1:
		a.append(a.pop(0))
		a.append(a.pop(0))
		a.pop(0)

	return a[0]

if __name__ == '__main__':
	for i in range(10,20):
		print(i, '==>', josephus(i))

对 n 在 10, 20 之间的数字实验，结果如下：

10 ==> 4
11 ==> 7
12 ==> 10
13 ==> 13
14 ==> 2
15 ==> 5
16 ==> 8
17 ==> 11
18 ==> 14
19 ==> 17

这个解法虽然可行，然而效率不高，数一大，就很慢了。
能不能用递归的想法呢？

当 n-1 个人玩此游戏，第 x 人为所剩
现在编号为 n 的人加入队尾。
集中脑力考虑：从哪个号开始游戏，才能第一次就删去新加入的这个第 n号呢？
显然，从 n-2 开始就行。最后所剩，就是编号为 x 的人

按游戏规则，从 n-2 开始，n-2 就应该编号为 1
现在的问题变成了：如何重新编号
如果重新如此编号，原来编号 x 的人的新编号是多少呢？
大约就是：(x + 3) % n

思路已定，开始编码：

def josephus(n):
	if n == 1: return 1
	k = (josephus(n-1) + 3) % n
	return k if k > 0 else n

if __name__ == '__main__':
	for i in range(10,20):
		print(i, '==>', josephus(i))

拿大数试一下，这要快得多了。