【数学基础】欧式变换、相似变换、仿射变换、射影变换

1、欧式变换

欧式变换保持了向量的长度和夹角，相当于我们把一个刚体原封不动地进行移动或旋转，不改变它自身的样子

2、相似变换

相似变换比欧氏变换多了一个自由度，它允许物体进行均匀的放缩，其矩阵表示形式为：

$Ts = \begin{bmatrix} sR &t \ 0^{T}&1 \end{bmatrix}$

旋转部分多了一个缩放因子 s ,在对向量旋转之后，可以在 x , y , z 三个坐标上进行均匀的缩放

3、仿射变换

形式为：

$T_{A} = \begin{bmatrix} A &t \ 0^{T}&1 \end{bmatrix}$

仿射变换只要求 A 是一个可逆矩阵，而不必是正交矩阵。仿射变换也叫正交投影。经过仿射变换之后，立方体就不再是方的了，但是各个面仍是平行四边形

4、射影变换

$T_{P} = \begin{bmatrix} A &t \ a^{T}&v \end{bmatrix}$

它左上角为可逆矩阵 A，右上为平移 t，左下缩放 $a^{T}$ 。由于采用齐坐标，当 $v \neq 0$ 时吗我们可以对整个矩阵除于 v得到一个右下角为 1 的矩阵；否则，则得到右下角为 0 的矩阵。因此，2D 的射影变换一共有8个自由度，3D则共有15个自由度。