戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第4页

$一二三四五六七八九零一二三四五六七八九零一二三四五六七八九零一二三四五六七八九$
$当我们给直线设置了原点和单位长度，那么这条直线上的各点与数的对应关系就是$
$完全精确的实际对应。于是，每个有理数a都可以根据其数字代表的线段长度，在直线上$
$找到对应的点，正数在原点右侧，负数在原点左侧。有理数零，对应于原点。于是，系统$
$R中的每个有理数，都对应且只对应于直线上的一个点。设a，b分别对应于点p，q，且$
$a>b，那么p在q之右。本节的定律1,2,3分别对应于上节的定律1,2,3。$
\quad
$三、直线的连续性$
$很显然，直线上有无穷多的点，没有与其对应的有理数。若点p对应于有理数a，那$
$么，众所周知，op的长度是可以利用固定不变的单位长度进行度量的，即，存在一个第三$
$长度，所谓的“公共度量”，op的长度，以及单位长度，都恰好是这个第三长度的正数倍$
(译注，我自己的理解，例如，op=1.3,则第三长度为0.1,单位长度1，是0.1的10倍，而op是0.1的13倍)。
但是古希腊人早已知道并且证明了在给定单位长度的情况下，有些长度是无法公度的（译注，因为这些
点并不位于十进制的固定刻度位置），例如：边长为单位长度的正方形的对角线。如果我们把这个对角
线线段移动到直线上，我们得到一个线段,其长度不是有理数。由此易知，直线上的点的个数无穷多于有
理数域R的有理数的个数。
\quad\quad如果现在，像我们所期待的，从数学角度进一步观察直线的所有现象，就会发现有理数是
缺乏的。必须对有理数构建的工具R，通过创造新数进行升级，使之具备跟直线相同的完备性，或者
说连续性。
\quad\quad上面这些讨论对所有人来说都是非常熟悉的，所以很多人会觉得多余。但是我依然认为这些强调性
的思考是必须的，是在为后面的主要问题做正确的准备。因为，通常的无理数的定义是直接放在其他定
义的扩展概念上-----无理数自身并没有一个严谨的定义-----通过把一种数，解释为另外一种同类数之间
的比较的结果。与之相反，我要求算术要从自身出发，定义出自身。