定义：
【1】独立事件在给定区间内随机发生，给定区间为时间或空间
【2】已知该区间内的事件平均发生次数（发生率）,用希腊字母 λ（lambda）表示。
举例：
某电影院的爆米花机总是坏，顾客们很不高兴。下星期电影院有一个大型促销活动，经理希望爆米花机不要出状况，已知爆米花机每一周的平均故障次数为3.4，或者说爆米花机的故障率为3.4。那么爆米花机下一周不发生故障的概率有多大？泊松分布就是用来解决这类问题的。
用X表示给定区间内的事件发生次数，如果X符合泊松分布，且每个区间内平均发生λ次，或者说发生率为λ，则写作：
省去推导过程，直接给出概率公式：
泊松分布的期望和方差
如果X~Po(λ) ,则E(X)为给定区间内能够期望的事件发生次数，对于爆米花机来说，为在一周内能够期望的机器损坏次数，也就是说，E(X)是给定区间内的事件平均发生次数。
因此泊松分布的期望和方差非常的简洁，因为它的期望和方差都等于λ。
泊松分布的形状
泊松分布的形状随着λ的数值发生变化。λ小，则分布向右偏斜，随着λ变大，分布逐渐变的对称。如果λ是一个整数，则有2个众数，λ和λ-1，如果λ不是整数，则众数为λ。
例题：
某电影院的爆米花机总是坏，顾客们很不高兴。下星期电影院有一个大型促销活动，经理希望爆米花机不要出状况，已知爆米花机每一周的平均故障次数为3.4，或者说爆米花机的故障率为3.4。
（1）下一周爆米花机不发生故障的概率是多少？
P(X=0) = e^-λ / r!
= e^-3.4 x 3.4^0
=e^-3.4 = 0.033
（2）下一周爆米花机发生3次故障的概率是多少
P(X = 3) =e^-3.4 x 3.4^3 / 3!
=e^-3.4 x 39.304 / 6
=0.033 x 6.55 = 0.216
（3）爆米花机发生故障的期望和方差是多少？
E(X) = λ =3.4
Var(X) = λ =3.4
组合泊松变量
假如我们不止有爆米花机，还有饮料机，饮料机每周发生故障的平均次数2.3，求下个星期两个机器总故障次数为0的概率。
我们把爆米花机故障事件设为X，饮料机故障事件设为Y，即求P(X+Y=0)
因为X和Y是独立变量，因此：
P(X+Y) =P(X)+P(Y)
E(X+Y) =E(X)+E(Y)
所以总故障事件可以写作：X+Y~Po（λx+λy）,此事件的λ=3.4+2.3=5.7
P(X+Y=0) = e^-5.7 x5.7^0 / 0!
=e^-5.7 x 1/1 =0.003
泊松分布与二项式分布的关系
举例：小红在曲奇饼厂工作，她的工作是确保每一盒饼干都符合工厂严格的质量要求，她知道每块饼干发生破碎的概率为0.1，她的老板要求她求出一盒容量为100块的饼干的盒子里出现15块碎饼干的概率，她认为很简单，说用二项式分布公式计算就好了，X~B（n=100,p=0.1）。可是她拿出计算器计算100！时，计算器显示出错，因为数字太大！
要解决上面提到的问题，就会用到泊松分布，因为有时候，使用泊松分布比使用二项式分布更简单，但需要满足一个前提。
假如我们要计算一个二项式分布概率，n为3000，用二项式分布的公式需要计算3000！，这个数字太大，很难计算出来。此时我们要用泊松分布来求解近似答案。
我们来看一下泊松分布和二项式分布的期望方差对比
泊松分布 E(X) =λ，Var(X) = λ
二项式分布： E(X) = np，Var(X) =npq
我们要找出泊松分布与二项式分布的期望和方差近似相等的情况，因为泊松分布的期望和方差相等，所以np 要近似 npq
当q近似等于1且n很大时，np和npq近似相等。因此：
当n很大p很小时，可以用泊松分布X~Po(np)近似代替二项式分布X~B(n,p)
标准：当n>50且p<0.1时，为典型近似情况。
例题：一个学生要参加一场考试，但他没有做任何复习。他需要猜测每一题的答案，每一题的答答对概率是0.05。考卷上共有50个问题，他答对5题的概率是多少？用二项式分布的泊松分布近似法求解。
λ =np =50 x 0.05 =2.5
P(X =5) = e^-2.5 x 2.5^5 / 5!
= e^-2.5 x 97.65625 / 120 =0.067
总结
泊松分布的概率、期望、方差计算
泊松分布随机变量的组合
泊松分布与二项式分布的关系
如果X~B(n,p)，当n较大而p较小时，X可以近似表示为：
本文归纳总结参考《深入浅出统计学》