统计学系列目录（文末有超级大礼）：
统计学②——概率分布（几何，二项，泊松，正态分布）
统计学③——总体与样本
统计学④——置信区间
统计学⑤——假设验证
一、统计学是什么？
统计学分为两类，一类是描述性统计学，通过对数据的集中趋势和变异趋势的刻画来描述数据的分布情况，集中趋势有平均值，中位数和众数三个指标，变异趋势则有全距，四分位距，百分位距，方差，标准差等指标来衡量
另一类是推断统计学，通过对样本的统计来推断总体的参数和置信区间，以及对多变量进行相关性分析和回归预测。
用一句话就是：总结历史，预测未来
二、概率论基础
概率论是统计学中非常重要且基础的内容，因为统计学都是要基于数据分布，而数据分布就要依赖于概率分布。
1、概率是什么？
描述一个事件发生的可能性，范围在[0,1]，值越接近于1，说明发生的可能性越大
引申：某一事件的信息熵就是基于其发生概率，概率越小信息熵越大，说明不确定性越大
2、各种事件？
独立事件：A,B如果为独立事件，则A发生不会影响B发生，B发生也不会影响A发生，比如连中了3次彩票为A,B为下一次仍中彩票，A,B就是独立事件，因为每次中彩票的概率都是一样的~
互斥事件：不可能同时发生的事件，比如A为吃饭噎住，B为吃饭不噎住，这两者不可能同时发生
3、何为交集并集？
A∩B： A和B的交集，P(A∩B)代表A和B同时发生的概率
若A,B为独立事件，P(A∩B) = P(A)*P(B)
若A,B为非独立事件，P(A∩B) = P(A)*P(A|B) = P(B)*P(A|B)
A∪B: A和B的并集，P(A∪B)代表A和B任意一个发生的概率
若A,B为独立事件,P(A∪B)=P(A) + P(B)
若A,B为非独立事件，P(A∪B)=P(A) + P(B) - P(A∩B)
3、条件概率是个啥？
指A发生时B发生的概率 = A,B同时发生的概率/A发生的概率
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
4、全概率公式是？
事件B有两种发生方式：与A一起发生，和不与A一起发生，即
P(B）= P(B|A)*P(A) + P(B|A’)*P(A’)
A’ 是指A不发生
5、贝叶斯定理好像有很名？
条件概率 + 全概率公式 → 贝叶斯定理
P(A∩B) = P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B)
P(B）= P(B|A)*P(A) + P(B|A’)*P(A’)
贝叶斯定理：
P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B|A)*P(A) + P(B|A’)*P(A’)
机器学习中有一类分类算法叫朴素贝叶斯，就是基于贝叶斯定理以及各特征之间相互独立而来
三、随机变量
随机变量是指一个可以等于一系列数值的变量，而这一系列中的每个值都有一个特定概率相关联
如果随机变量为X,X可能取值为（x1,x2,x3……）
P(X = x1)就是指X为x1的概率
1、随机变量期望如何算？
随机变量的期望是指在多次实验情况下，随机变量取值的均值是多少。
比如，女生喜欢早上起床量体重，早餐后量，午餐后量，晚上饿一顿量，健身后量…然后将量的结果除了次数就是期望，用E(X)表示
2、随机变量方差如何算？
为啥要计算一个随机变量的方差呢？有期望不就可以了吗？
方差是衡量变量与期望的差异，如果方差高，说明每一次的期望会变得越不可测，那么是不是越刺激呢？想想看老虎机，游戏抽卡，转盘等
3、如果随机变量的取值做了线性变换，怎么计算？
假如X的取值均翻倍了，那么期望和方差会变化吗？
期望是翻倍，方差嘛，因为要平方，就变成了原来的4倍
4、如果多个独立的随机变量一起，要如何计算呢？
比如刚才一个女生的体重变化，如果换做多个女生呢，如果计算整体期望和方差？
期望是直接相加，方差也是直接相加,这是因为每个变量的期望和方差都没变，只是累加到了一起
E(X + Y ) = E(X) + E(Y)
Var(X+ Y ) = Var(X) + Var( Y)
5、一个随机变量重复多次，怎么计算呢？
随机变量每次发生的期望和方差一样，因此多次也是直接汇总，与多个独立的随机变量同时发生一样
五、 业务实战
平台最近在做一个转盘游戏，概率老大交给我了。转盘上10个不同礼物，有4个价值非常高的礼物，其余都是小礼物。要求是既要保证礼物产出占消耗的95.5%，又要保证用户玩得爽，玩得上瘾不可自拔，然后大把大把充钱~~
这就是很典型的计算随机变量期望和方差的案例了，设用户收益为随机变量X，X取值就是10个礼物的价值，假设转盘一次的成本为10元，那么E(X) = 9.55元； 想要用户玩得爽，就得让方差尽可能大，每一次转盘的结果，要么惊喜过望，要么跌落谷底。这就变成了一个在期望确定情况下最大化方差的问题
E(X) = ∑ x*P(X=x) = 9.55
max Var(X) = E(X-μ)^2 = ∑(x-μ)^2*P(X=x)
我先假设只有3个礼物，分别计算了不同概率了期望在9.55时的方差（如下表），发现最大礼物和最小礼物的概率越大，中间礼物概率越小，方差越大，如果扩大到10个礼物，就是中间礼物概率尽可能小，在期望不大于9.55的前提下，尽可能提升大礼物概率，最后用1-其余礼物概率得到最小礼物概率，这样计算出来的方差最大。
从算法层面，确实这么做方差最大，可是从用户层面来说，要么抽到最小礼物，要么抽到最大礼物，且小礼物概率远远在于大礼物概率，中间礼物形同虚设，这种体验会很差，所以在实际业务中，还是会牺牲部分方差，给中间礼物设定一些概率，且随着礼物价值越大，概率越低，这样可以增加礼物抽到的多样性，比较不容易惹恼用户，但同时也尽量保证了较大的方差
本人互联网数据分析师，目前已出Excel，SQL，Pandas，Matplotlib，Seaborn，机器学习，统计学，个性推荐，关联算法，工作总结系列。
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