实变函数与泛函分析知识点整理

实变函数与泛函分析

未完待续

4.1 $L^p空间$

1. 定义$L^p空间和范数$：
   $L^p$范数： $$\Vert f{\Vert }_p=({\int }_E|f(x){|}^{p}dx{)}^{\frac{1}{p}}$$
   $L^p空间$：
   $$L^P(E)=\{f|\Vert f{\Vert }_p<+\infty \}$$

2. 引理：
   $a^{\frac{1}{p}}{b}^{\frac{1}{q}}\le \frac{a}{p}+\frac{b}{q}$

3. Holder不等式：
   $$E是n维可测集，p,q共轭，f\in L^P(E),g\in L^q(E),则\Vert fg\Vert \le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$

4. 利用Holder不等式得出结论：
   $$m(E)<\infty ,p_1<p_2,L^{p_2}(E)\subset L^{p_1}(E)$$
   特别注意，holder不等式中p=q=2时，变成柯西施瓦茨不等式

5. 范数公理

齐次性：$\Vert af\Vert =|a|\Vert f\Vert$
正定性：$\Vert f{\Vert }_p=0当且仅当f=0a.e.E$
三角不等式：$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$
证明三角不等式

6. 定理
   $$给定f\in L^P(E),(1\le p\le \infty ),pq共轭,存在函数g\in L^q(E),且\Vert g{\Vert }_q=1,holder等号成立$$

7. 距离公理：
   正定性
   对称性
   三角不等式

8. L-p收敛

9. 极限唯一 $f_m\to f,f_m\to g,则f(x)=g(x)a.e.E$

10. 极限加减：$fLP\to f,g_{m}LP\to g，f_m+g_{m}LP\to f+g$

11. $f_{m}LP\to f,{\lim }_{m\to \infty }\Vert f_n{\Vert }_p=\Vert f{\Vert }_p$

12. n维可测集，$f_m,f$都是LP，$p\ge 0,f_m$LP收敛$f$推出依测度收敛

13. LP控制收敛定理：$E\in {\mathbb{M}}_n，f,f_m\in \mathbb{M},m=1,2,3,...,而且f_m\to f,a.e.E,或者f_n依测度收敛到f,g\in L^p(E),1\le p\le +\infty ,使得|f_n(x)|\le g(x),a.e.E,则f_m以LP收敛到f$

14. LP空间的完备性

15. LP空间的可分性

4.2 $L^2空间$

1. $L^2空间上的内积定义：$
   $$(f,g)={\int }_{E}f(x)g(x)dx$$
   称为f与g的内积

2. 内积公理：
   正定性：$(f,f)\ge 0$且$(f,f)=0ifff=0$
   对称性：$(f,g)=(g,f)$
   双线性性：$(af,g)=a(f,g)$
   $(f+g,h)=(f,h)+(g,h)$

3. 弱收敛性的定义：
   $$\underset{m\to \infty }{\lim }(f_m,g)=(f,g)$$
   则称$f_m$弱收敛到$f$

4. $L^2收敛比弱收敛强$
   $f\in L^2(E),f_m\subset L^2(E),则f_m{L}^2\to f的充要条件是f_{m}w\to f且{\lim }_{m\to \infty }\Vert f_m\Vert =\Vert f\Vert$

5. 正交系的定义
   正交
   正交系
   标准正交系

6. 傅里叶系数和傅里叶级数

7. Bessel定理