机器学习基础——先验概率、后验概率和似然估计的讲解；频率派和贝叶斯派之分；以及MLE和MAP方法的解析

1、先验概率

        假定$B_1，B_2，\dots ，B_n$是某个过程所有可能的前提条件，也就是$B_1，B_2，\dots ，B_n$为试验$E$样本空间 $\Omega$的一个划分，或称为试验$E$的一个完备事件组。
        由以上的假设，则$P(B_i)（i=1，2，\dots ，n）$是人们事先对各个前提条件出现的可能性大小的估计，称为先验概率。可以视为因果关系中的$P(因)$，用公式表示为$P(\theta )$。
        通俗来讲，先验概率就是通过历史经验来确定事件$B_i$发生的原因。小学课本里面学习过的看云识天气，就一种先验概率。通过观察天空中云朵和云层的状态，来推测今天是阴天、晴天还是雨天（即事件$B_i$）。“朝霞不出门，晚霞行千里”，讲的就是先验概率。

2、后验概率

        如果通过先验概率得到了一个结果$A$，那么贝叶斯公式就为我们提供了根据A的出现评价各个前提条件作用的方法。$P(B_i|A)（i=1，2，\dots ，n）$即是$B_i$对$A$的出现发挥作用的可能性，称为后验概率。同理，可以视为$P(因|果)$，用公式表示为$P(\theta |X)$。这里第一次出现$X$和$\theta$两个变量，是相互独立的。
        比方说，出门散步和不出门散步是事件$A$的两种状态。那么，现在已经知道我出门状态的结果，倒过来推测天气情况，就是后验概率。假如我今天不出门，极大可能是下雨，也有可能是阴天（看似很快就要下雨了）；但如果我出门，极大可能是晴天，但也有可能是因为要紧的事要出门处理，不得不冒雨出去。通过结果来推测原因，这就是后验概率。这个例子很像决策树中的经典例子~

3、似然估计

        Likelihood的中文是似然。已知原因来估计结果的概率分布就是似然估计。可以视为$P(果|因)$，用公式表示为$P(X|\theta )$。
        即已知天气的情况，决定是否出门散步的概率。

4、总结

        首先我们需要知道条件概率公式：
        假设$A$，$B$是两个事件，且$P(A)>0$，称 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率。
        接着我们分析 贝叶斯公式： $P(B_i|A)=\frac{P(B_i)\times P(A|B_i)}{P(A)}$，规范化即 $后验概率=P(\theta |X)=\frac{P(\theta )\times P(X|\theta )}{P(X)}=\frac{先验概率\times 似然估计}{P(X)}$。
        其中，$P(X)$表示全概率公式为：$P(X)={\sum }_{j=1}^{n}P({\theta }_j)\times P(X|{\theta }_j)$。还是这个看云识天气的情景，$P(X)$表示结果的概率分布，即365天里面每天出门或者宅在家里面的概率分布，即二项分布（X这个事件有两种可能状态）。当然可以是多项分布以及其它别的分布。
        以上的理论引申出两大学派，大致为：频率派和贝叶斯派。频率派代表的理论是$MLE$（最大似然估计），而贝叶斯派的代表理论则是$MAP$（最大后验估计）。
        频率派认为，用样本估计事件发生的概率分布是真实可信的。也就是，365天中每一天都有一种天气状况，往深的考虑，一天甚至有多种天气状况。这个问题就变为了，求在当前的天气状态下，我是出门还是不出门宅在家里的概率。所以以一年的数据为样本，样本总量$n\ge 365$。最终可能得到的统计结果是晴天出门概率为0.8，阴天出门的概率为0.5，雨天出门的概率为0.2，雷暴大风天气出门概率为0.05等等。
        上面这个问题可能有点复杂，我们以丢硬币为例子，是典型的二项分布。
        分布律为$P\{X=K\}=C_n^k\times {\theta }^k\times (1-\theta {)}^{n-k}$
        频率派认为在$K$表示正面朝上时，求出使得$P\{X=K\}$最大的$\theta$的值（求导后求极值即可），其中n实验的总次数和k正面朝上的次数由统计得出。显然极端情况100次硬币都是正面朝上的概率没有频率派没有考虑到。在缺乏样本数据的情况下，很容易得到错误的答案。
        而贝叶斯派认为参数都是随机变量，都有分布。利用贝叶斯定理， $P({\theta }_i|X)=\frac{P({\theta }_i)\times P(X|{\theta }_i)}{P(X)}$。我们关心左式子最大值时候的$\theta$，$\theta$是有分布的。其中，${\theta }_i$分别代表晴天、阴天等天气情况或者是硬币正和反两种情况。
        把这n次试验作为一组样本，那么在总样本里面$P(X)$与$\theta$无关，由统计得出。最大后验估计即为已知一组实验结果的情况下求$\theta$的最大值。换句话说，$MAP$即是假设参数$\theta$的概率分布，然后通过样本数据去进行修正。所以式子就变为$argmax\theta =argmaxP(X_i|\theta )\times P(\theta )$，等式左右两边成正比。在样本比较小的情况下，我们计算出来的$\theta$的值比$MLE$计算出来的更加好。比方说丢硬币正面朝上的概率会在50%附近波动，不会出现极端值。
        但是，最大后验估计并不是完全的贝叶斯派，只不过用到了贝叶斯理论。完全的贝叶斯派应该将$P(X)$也计算出来，称为贝叶斯预测或者完整的后验概率计算。

5、参考

        以上是我个人的观点和总结。参考了b站机器学习我到底在学什么、一个例子搞清楚（先验分布/后验分布/似然估计）以及频率派vs贝叶斯派
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