1 连续性和无理数
构成这本小册子的主题思想的那些想法，在1858年秋天，第一次引起了我的注意。作为苏黎世理工学校的教授，我第一次感到自己有义务把微积分的基础元素给学生做讲解，而且第一次非常强烈地感受到，目前的数学，没有一个真正的科学基础。在讨论“某个变量无限趋近某个固定极限值”这个概念的时候，尤其是在证明这样一个定理，即，某个变量无限趋近某个确定值”，但是永远不会突破这个确定值，而只能持续靠近这个确定值，我只能借助于几何图形。即使现在，从教学的观点看，在微积分教学中，第一次展示微积分的时候，借助几何直觉的方法，也是极其有用，而且是不可或缺，如果你不想浪费时间的话。但是没人否认，这种几何直观讲解微积分的方法，是不科学的。我对此深感不满，这种不满如此强烈，以至于我下定决心，一定要持续思考，直到找出一个纯数学，完美无缺，逻辑严谨的基础，作为无穷小分析的原则。在微积分中反复提及的连续变动，实际并没有定义。即使是最严谨的关于微积分的解释，也仅仅建立在对几何图形的直觉上，它们或者借助几何定理，或者借助于几何定理的衍生定理，或者依靠非纯数学方式的定理。但是我发现，上述几何方法中，可以找到一个定理或者某个对应的定理，足以作为无穷小分析的基础。只需发现连续性的纯数学方式的真正本质，即可做出连续性的实质性的定义。在跟我的好朋友Dur`ege 进过反复探讨后，1858年11月24日，我成功了。我把自己的方法，讲给了我的一些学生。在Braunschweig（布伦瑞克，德国城市）我在一些教授面前宣读了我的一篇论文。但是我还没打算出版我的发现，因为它还不够简洁，而且看不出它有什么实际的应用前景。尽管如此，我还是下了一半决心，打算继续研究我的这个方法，因为就在几天前，3月14日，一个友善的作者，把一份他写的论文“Die Elemente der Funktionenlehre by E. Heine (Crelle’s Journal, Vol. 74)”，交给了我，肯定了我的想法。我的想法大体上跟他的文章理解的一致。如果不是他的这篇文章，我可能会做不下去。但是，坦诚地说，我觉得我的方法，在形式上更加简洁，而且更清楚地揭示了关键点。在写这个序言（1877年3月20日）的时候，我刚刚收到康托尔写的有趣的论文Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, by G. Cantor (Math. Annalen, Vol. 5)。我欠这个聪明绝顶的康托尔一个真心感谢。因为我在大概看了一下他的论文后，发现他的论文第二部分给出的公理，跟我的论文中第三部分指出的内容，除了表现形式以外，对连续性本质的看法是一致的。但是我的这个纯抽象数学方式的高等级的实数定义，也就是把实数域设想成完备的，到底有何优势，我也不知道。
一、有理数的特点
这里假设关于有理数的一些知识是必备的，但是，一些重要的事实，还是值得一提，但是不做讨论。这样，就可以在一开始就展示出后续阐明的那些观点。我在整体上把数字看成是通过最简单的计算，必须且自然而然得到的计算结果所构成的序列。每一个数字，都是前一个数字经过简单计算得到的结果，这样就构成了一个包含无穷多正整数的数列。这个计算行为，就是让每一个数字，都是它前面紧邻它的那个数字经过某种运算的结果。这个简单的动作，就是传递这个运算，以产生下一个数字。这样构成的数字链条，成为人脑的极其有用的思考工具；这个数字链条，通过加减乘除四则运算，可以获得永不枯竭的令人瞩目的定理构成的宝库。加法是把以上四则运算得到的各种结果进行合并的组合运算。从加法又产生了乘法。虽然加法和乘法运算总是可以进行的，但是它们的逆运算减法和除法，却是受限的。不管这些限制的来源是什么，这些限制迫使人类必需创造新的方法和规则，于是人类通过思考，创造出了负数和小数。这样，在有理数的系统里就有了一个可用于不断进行完善优化的工具。我用字母R来代表这个系统，这个系统具有完备性和自我封闭性，这两个特性，也是我在其他地方指出的，一个“数字体”应该具备的特性。该系统R内的任意两个数字都可以进行四则运算，而且运算结果也仍在R内（除零运算除外）。
然而，就我们现在的讨论而言，系统R的另一个特性更加重要，那就是系统R建立了一个布局良好的一维域，这个域在一维上向两侧无限延伸。我借用几何方法充分展示这一点。但是，也正是因为我借用了几何思想，所以必须引入相应的纯数学的特性描述，以避免产生误解，误以为数学定义需要借助于数学以外的方法。
我们用a=b或者b=a来表示a与b代表同一个有理数。当a和b是两个不同的有理数时，则a-b或者大于零，或者小于零。当a-b>0时，我们说a大于b，或b小于a, 用符号表示就是a>b, 或b<a；当a-b为负数的时候，b-a为正值，于是b>a, a<b。基于上述比较方法，我们有下面的结论:
若a>b,且b>c,那么a>c。只要a和c是两个不同的数，而b大于其中一个，且小于另一个，我们就会基于几何直觉，毫不犹豫地断定，b在a和c中间；
若a和b是两个不同的数，那么a和b之间有无穷多数字；
若a是任意一个确定数字，那么有理数域R可以分成两类，A1和A2，每个类都包含无穷多数；第一类A1包含所有<a的数字a1，A2包含所有>a的数字a2; a可以任意归于A1或者A2。如果让a属于A1，那么a是A1中的最大数；反之，如果让a属于A2，那么a是A2中的最小数；不管a划分在A1还是A2，都会出现下面的情况，A1中的全体数字均大于A2中的全体数字。
二、通过直线上的点，比较有理数大小
上述关于有理数特性的讨论，回顾了直线L上的点的位置关系。
如果用“左”和“右”代表直线L的两个相反方向，那么，如果p和q是直线上两个不同点，那么p或者在q的右边，与此同时，q在p的左边；或者反之，q在p的右边，那么与此同时，p在q的左边。如果p和q是L上的两个不同点，那么只有这两种情况，没有第三种情况；
根据位置的不同，以下结论成立：
若p在q的右侧，q在r的右侧，那么我们说q在p和r之间
若p，r是两个不同的点，那么p、r之间有无穷多点；
若p是直线L上一个确定的点，那么所有L上的点，可以分成两类P1和P2，每一类都包含无穷多数；第一类P1包含的所有点p1，全部在p的左侧，第二类P2包含的全部点p2，都在p的右侧；p可以被任意指定归属于第一类或者第二类；不管p被划分在哪个类，L都被分成两部分P1和P2，P1中所有点都位于P2中所有点的左侧；
当我们在直线上确定了原点或者0点的位置，以及单位线段长度用于度量长度之后，上述用点模拟数的方法，直线上的点和数的对应，就是真正的对应；有了单位度量长度之后，有理数a就有了相应的长度，如果是正值，就位于原点o的右侧，否则左侧。这样我们就得到了端点p，用于在直线上代表有理数a；有理数0，对应于原点o。这样，有理数a或者说有理数域R的每个数字都对应于直线上的唯一一点，即L上的一个独立个体；两个不同数字a，b，分别对应L上两个不同点p、q，并且如果a>b，则p在q的右侧。上一节的法则1，2，3跟本节的法则1，2，3，完全对应；
III. 直线的连续性有一个非常重要的事实，那就是L上有无穷多点，对应于非有理数。若点p对应于有理数a，那么我们都知道，p点到原点o的距离是可公度的，即存在一个第三长度，它是某个单位长度与某个整数的乘积。古希腊人早就发现在单位长度确定的情况下，正方形对角线的长度是无法公度的，如果这个正方形的边长是单位长度的话。如果我们从原点出发，把这个长度画在直线上，那么这个线段的端点，就对应于一个非有理数。既然有无数多的点，对应于非有理数。更进一步分析，很明显，有无穷多这样的无法公度的线段，我们可以断言：直线L上的对应于数字的点的个数，要大于有理数域R所含有的有理数的个数。
如果我们现在依然希望有理数域R仍然具备直线所具有的这些算术特性，那么就必须对有理数构成的工具R进行扩充，增加一些新的数，使之具备直线的完备性和连续性。 上述这些考虑如此显然且简单，以至于很多人会觉得多余。但是我认为这个重复是必要的，因为这是在为后面的主要问题做准备。因为现有的定义无理数的方法是基于扩展现有的数域，对数字的解释，是用一个自身就不清晰的定义去测量另一个与之并驾齐驱的另一个同类。而我的要求是数学定义要靠纯数学方法。
一般而言，像这样非算术比较，有助于我们当前的对数的概念进行扩展的这种情况，这种比较是允许的（对复数进行扩展的时候不适用）。尽管如此，这还不足以作为从数学之外引入非数学定义的基础。就像负数和小数是独立创造出来的一样，那些适用于负数和小数的运算规则，依然适用于正数。所以我们必须设法仅用有理数，定义出无理数。剩下的问题就是如何来做这件事。
上面所做的有理数域与直线的比较，让我们认识到直线上的有理数中间分布着空隙，认识到有理数域是不完备的或者说是不连续的，而直线是完备的，是没有缝隙的，或者说直线是连续的。
那么，连续性包含什么呢？这个问题答案，将成为所有其他定理的基础，我们只有通过这个答案，才能得到一个科学的基础，用于研究连续域。显然，仅靠含糊地说，直线的最小组成部分之间有无法中断的连接，显然什么都得不到；我们必须给出连续性的精确定义才能根据这个定义，进行更进一步的推理。我为此思考很久，但是一无所获。但是最终我得到了自己要找的东西。这个发现，不同的人会给出不同的评价，但是大多数人会觉得平淡无奇。
这个发现内容如下: 直线上每一个点都能把直线分割两部分，每个点形成的这些分割特性相同：分割点左侧部分的每一个点，都位于右侧部分的每一个点的左侧。我从上面的叙述中发现了连续性的本质，内容如下：如果把直线上所有点分成两类，使得第一类的所有点，都位于第二类所有点的左侧，那么有且只有一个点能产生这个分割。
我相信每个人都会不假思索地接受上述这个事实。大多数读者可能会感到失望----如此平淡无奇的结论就能揭示连续性的秘密。我很高兴大家能毫不费力地接受这个事实，因为这个事实跟大家对直线的理解和谐一致，而且我还没法对这个结论给出证明，我相信没人能给出证明。我将它看做是一个公理，这个公理源于直线连续性，利用它，我们发现了直线的连续性。如果直线有空隙，那么直线就不连续了；即使
以下为原文第6页
直线不连续的，直线的很多特性依然保持直线不连续，我们也可以填上这些空隙，使得直线变为连续的；这个填充将通过创造新数来完成，且符合上述的直线分割特性。
IV.无理数的创造
从上述最后一句话可以非常明显地看出，非连续的有理数域R会如何被变成连续域。第一部分已经指出，每一个有理数 a 都能使系统R（有理数域）产生一个分割，使得第一类A1内的每个数字a1，小于第二类A2内的所有点a2，a或者是第一类的最大值，或者是第二类的最小值。如果任何一个把系统R分为两类的分割，其产生的第一类A1的每个数a1，都小于第二个类A2中的每个数a2，我们称这样的分割为cut，表示为（A1，A2）。那么我们可以说，每个有理数a都能产生一个分割，或者说产生两个分割，这两种说法本质上都一样。这个分割同时还具有这个特性：或者A1有最大值，或者A2有最小值。反之，如果一个cut具有上述特性，那么这个分割或者是由第一类的最大值产生，或者是第二类的最小值产生。反之，如果一个分割具备这个特性，那么该分割是由这个最大值或最小值产生。
显然，同样存在无数个不是有理数产生的分割。下例为证。
设 D 是 一 个 正 整 数 ， 且 不 是 一 个 完 全 平 方 数 ， 那 么 存 在 正 整 数 λ ， 有 ： 设D是一个正整数，且不是一个完全平方数，那么存在正整数λ，有：设D是一个正整数，且不是一个完全平方数，那么存在正整数λ，有：
λ 2 < D < ( λ + 1 ) 2 \quad\quad\lambda^2<D<(\lambda+1)^2λ2<D<(λ+1)2
如 果 我 们 指 定 每 个 平 方 数 大 于 D 的 正 有 理 数 a 2 属 于 A 2 类 ， 其 他 全 部 有 理 数 a 1 划 入 A 1 类 ， 这 样 的 划 分 ， 如果我们指定每个平方数大于D的正有理数a2属于A2类，其他全部有理数a1划入A1类，这样的划分，如果我们指定每个平方数大于D的正有理数a2属于A2类，其他全部有理数a1划入A1类，这样的划分，
显 然 构 成 了 分 割 （ A 1 ， A 2 ) , 即 ， 每 个 A 1 中 的 数 都 小 于 A 2 中 的 每 个 数 。 因 为 假 设 a 1 = 0 ， 或 者 是 负 数 ， 显然构成了分割（A1，A2),即，每个A1中的数都小于A2中的每个数。因为假设a1=0，或者是负数，显然构成了分割（A1，A2),即，每个A1中的数都小于A2中的每个数。因为假设a1=0，或者是负数，
那 么 显 然 小 于 A 2 中 的 每 个 数 ， 因 为 根 据 假 设 ， A 2 中 的 最 好 一 个 数 是 正 数 ； 如 果 a 1 是 正 数 ， 那 么 其 平 方 数 那么显然小于A2中的每个数，因为根据假设，A2中的最好一个数是正数；如果a1是正数，那么其平方数那么显然小于A2中的每个数，因为根据假设，A2中的最好一个数是正数；如果a1是正数，那么其平方数
小 于 等 于 D ， 而 A 2 中 的 数 字 a 2 ， 其 平 方 和 大 于 D ， 所 以 a 1 < a 2. 小于等于D，而A2中的数字a2，其平方和大于D，所以a1<a2.小于等于D，而A2中的数字a2，其平方和大于D，所以a1<a2.
但 是 ， 这 个 分 割 是 由 非 有 理 数 产 生 的 。 为 证 明 这 一 点 ， 必 须 先 证 明 存 在 非 有 理 数 ， 其 平 方 和 是 D 。 但是，这个分割是由非有理数产生的。为证明这一点，必须先证明存在非有理数，其平方和是D。但是，这个分割是由非有理数产生的。为证明这一点，必须先证明存在非有理数，其平方和是D。
尽 管 用 初 等 数 论 可 以 轻 松 证 明 这 一 点 ， 但 是 下 面 的 这 个 间 接 证 明 也 有 存 在 的 意 义 。 如 果 存 在 一 个 有 理 数 ， 尽管用初等数论可以轻松证明这一点，但是下面的这个间接证明也有存在的意义。如果存在一个有理数，尽管用初等数论可以轻松证明这一点，但是下面的这个间接证明也有存在的意义。如果存在一个有理数，
y = x ( x 2 + 3 D ) 3 x 2 + D y=\frac{x(x^2+3D)}{3x^2+D}y=3x2+Dx(x2+3D)
我 们 得 到 我们得到我们得到
y − x = 2 x ( D − x 2 ) 3 x 2 + D y-x=\frac{2x(D-x^2)}{3x^2+D}y−x=3x2+D2x(D−x2)
并 且 并且并且
y 2 − D = ( x 2 − D ) 3 ( 3 x 2 + D ) 2 y^2-D=\frac{(x^2-D)^3}{(3x^2+D)^2}y2−D=(3x2+D)2(x2−D)3
此 时 ， 如 果 x 属 于 A 1 , 那 么 x 2 < D , 此 时 y > x , 且 y 2 < D 。 则 y 属 于 A 1 此时，如果x属于A_{1},那么x^2<D,此时y>x,且y^2<D。则y属于A_{1}此时，如果x属于A1,那么x2<D,此时y>x,且y2<D。则y属于A1
如 果 假 定 x 属 于 A 2 , 则 有 x 2 > D , y > 0 , y < x , 且 y 2 > D 。 显 然 ， y 属 于 A 2 如果假定x属于A_{2},则有x^2>D,y>0,y<x,且y^2>D。显然，y属于A_{2}如果假定x属于A2,则有x2>D,y>0,y<x,且y2>D。显然，y属于A2
这 个 分 割 是 有 非 有 理 数 产 生 这个分割是有非有理数产生这个分割是有非有理数产生
这 个 现 象 ， 说 明 有 理 数 域 R 是 不 完 备 的 ， 或 者 是 说 不 连 续 的 \quad 这个现象，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的这个现象，说明有理数域R是不完备的，或者是说不连续的
每 一 个 这 样 的 分 割 ， 都 对 应 于 一 个 非 有 理 数 , 由 此 就 产 生 了 一 个 新 数 ， 即 无 理 数 α \quad 每一个这样的分割，都对应于一个非有理数,由此就产生了一个新数，即无理数\alpha每一个这样的分割，都对应于一个非有理数,由此就产生了一个新数，即无理数α
我 们 认 为 该 数 完 全 由 该 分 割 产 生 。 我 们 应 该 说 这 个 新 数 α 对 应 于 这 个 分 割 ， 或 者 说 它 制 造 了 这 个 分 割 , 我们认为该数完全由该分割产生。我们应该说这个新数\alpha 对应于这个分割，或者说它制造了这个分割,我们认为该数完全由该分割产生。我们应该说这个新数α对应于这个分割，或者说它制造了这个分割,
并 且 ， 从 现 在 开 始 ， 只 要 两 个 分 割 不 同 ， 我 们 就 说 产 生 这 两 个 分 割 的 数 不 等 。 并且，从现在开始，只要两个分割不同，我们就说产生这两个分割的数不等。并且，从现在开始，只要两个分割不同，我们就说产生这两个分割的数不等。
为 了 获 得 全 体 实 数 ， 即 有 理 数 和 无 理 数 的 有 序 排 列 的 基 础 ， 我 们 必 须 研 究 分 别 由 α 和 β 产 生 的 两 个 分 割 \quad 为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由\alpha 和\beta 产生的两个分割为了获得全体实数，即有理数和无理数的有序排列的基础，我们必须研究分别由α和β产生的两个分割
( A 1 , A 2 ) 和 ( B 1 , B 2 ) 中 间 的 关 系 。 显 然 ， 当 分 割 ( A 1 , A 2 ) 中 的 一 个 ， 例 如 A 1 给 定 之 后 ， 这 个 分 割 就 完 全 确 定 了 ， (A_{1},A_{2})和(B_{1},B_{2})中间的关系。显然，当分割(A_{1},A_{2})中的一个，例如A_{1}给定之后，这个分割就完全确定了，(A1,A2)和(B1,B2)中间的关系。显然，当分割(A1,A2)中的一个，例如A1给定之后，这个分割就完全确定了，
因 为 A 2 就 是 有 理 数 去 掉 A 1 后 剩 下 的 全 体 有 理 数 。 分 割 中 的 第 一 个 类 ， 具 有 这 样 的 特 性 ， 如 果 a 1 是 第 一 类 的 元 素 ， 那 么 所 有 小 于 a 1 的 因为A_{2}就是有理数去掉A_{1}后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果a_{1}是第一类的元素，那么所有小于a_{1}的因为A2就是有理数去掉A1后剩下的全体有理数。分割中的第一个类，具有这样的特性，如果a1是第一类的元素，那么所有小于a1的
数 ， 都 包 含 在 第 一 类 中 。 如 果 此 时 ， 我 们 对 两 个 分 割 中 的 第 一 类 进 行 比 较 ， 会 有 如 下 结 果 数，都包含在第一类中。如果此时，我们对两个分割中的第一类进行比较，会有如下结果数，都包含在第一类中。如果此时，我们对两个分割中的第一类进行比较，会有如下结果
1. 他 们 完 全 相 同 。 即 ， 任 何 一 个 属 于 A 1 的 元 素 ， 也 属 于 B 1 , 且 每 一 个 属 于 B 2 的 元 素 ， 也 同 样 属 于 A 1 \quad 1. 他们完全相同。即，任何一个属于A_{1}的元素，也属于B_{1},且每一个属于B_{2}的元素，也同样属于A_{1}1.他们完全相同。即，任何一个属于A1的元素，也属于B1,且每一个属于B2的元素，也同样属于A1
此 时 ， A 2 与 B 2 也 显 然 相 同 ， 此 时 我 们 用 符 号 表 示 为 α = β , 或 β = α 此时，A_{2}与B_{2}也显然相同，此时我们用符号表示为\alpha = \beta,或\beta=\alpha此时，A2与B2也显然相同，此时我们用符号表示为α=β,或β=α
但 是 ， 如 果 A 1 与 B 1 不 同 ， 例 如 ， A 1 中 的 元 素 a 1 , 没 有 包 含 在 B 1 中 ， 因 此 被 包 含 在 B 2 中 ， \quad 但是，如果A_{1}与B_{1}不同，例如，A_{1}中的元素a_{1},没有包含在B_{1}中，因此被包含在B_{2}中，但是，如果A1与B1不同，例如，A1中的元素a1,没有包含在B1中，因此被包含在B2中，
这 样 B 1 中 的 元 素 数 量 自 然 小 于 A 1 中 的 数 量 这样B_{1}中的元素数量自然小于A_{1}中的数量这样B1中的元素数量自然小于A1中的数量
2. 如 果 A 1 中 只 有 一 个 数 a 1 ′ 是 B 1 所 没 有 的 ， 那 么 A 1 中 其 他 数 字 a 1 也 同 样 被 包 含 在 B 1 中 ， 且 有 a 1 小 于 a 1 ′ , 2.如果A_{1}中只有一个数a_{1}'是B_{1}所没有的，那么A_{1}中其他数字a_{1}也同样被包含在B_{1}中，且有a_{1}小于a_{1}',2.如果A1中只有一个数a1′是B1所没有的，那么A1中其他数字a1也同样被包含在B1中，且有a1小于a1′,
即 ， a 1 ′ 是 所 有 A 1 元 素 中 的 最 大 的 一 个 ， 因 此 ， a 1 ′ , A 1 , A 2 由 α = a 1 ′ = b 2 ′ 产 生 。 再 看 B 1 , B 2 . 即，a_{1}'是所有A_{1}元素中的最大的一个，因此，a_{1}',{A_{1},A_{2}}由\alpha=a_{1}'=b_{2}'产生。再看{B_{1},B{2}}.即，a1′是所有A1元素中的最大的一个，因此，a1′,A1,A2由α=a1′=b2′产生。再看B1,B2.
我 们 已 经 知 道 B 1 中 的 所 有 数 b 1 也 都 包 含 在 a 1 中 ， 且 小 于 a 1 ′ = b 2 ′ , b 2 ′ 属 于 B 2 ; B 2 中 的 其 他 元 素 b 2 均 大 于 我们已经知道B_{1}中的所有数b_{1}也都包含在a_{1}中，且小于a_{1}'=b_{2}',b_{2}'属于B_{2};B_{2}中的其他元素b_{2}均大于我们已经知道B1中的所有数b1也都包含在a1中，且小于a1′=b2′,b2′属于B2;B2中的其他元素b2均大于
b 2 ′ , 否 则 ， 如 果 b 2 小 于 b 2 ′ ， 那 么 就 会 小 于 a 1 ′ ， 就 会 属 于 B 1 ； 因 此 ， b 2 ′ 是 B 2 中 的 最 小 数 ， 因 此 ( B 1 , B 2 ) b_{2}',否则，如果b_{2}小于b_{2}'，那么就会小于a_{1}'，就会属于B_{1}；因此，b_{2}'是B_{2}中的最小数，因此(B_{1},B_{2})b2′,否则，如果b2小于b2′，那么就会小于a1′，就会属于B1；因此，b2′是B2中的最小数，因此(B1,B2)
由 b 2 ’ 由 同 样 的 有 理 数 β = b 2 ′ = a 1 ′ = α 产 生 , 两 者 的 区 别 是 非 本 质 的 由b_{2}’由同样的有理数\beta=b_{2}'=a_{1}'=\alpha 产生,两者的区别是非本质的由b2’由同样的有理数β=b2′=a1′=α产生,两者的区别是非本质的
3. 如 果 在 A 1 中 至 少 有 两 个 数 a 1 ′ = b 2 ′ , a 1 ′ ′ = b 2 ′ ′ , 不 在 B 1 中 ， 那 么 就 有 无 数 个 这 样 的 数 存 在 。 因 为 在 这 两 数 之 间 \quad 3.如果在A_{1}中至少有两个数a_{1}'=b_{2}',a_{1}''=b_{2}'',不在B_{1}中，那么就有无数个这样的数存在。因为在这两数之间3.如果在A1中至少有两个数a1′=b2′,a1′′=b2′′,不在B1中，那么就有无数个这样的数存在。因为在这两数之间
的 无 穷 多 的 数 ， 都 在 A 1 中 ， 却 都 不 在 B 1 中 。 这 种 情 况 下 ， 我 们 说 对 应 于 两 个 本 质 上 不 同 的 分 割 ( A 1 , 2 ) 与 ( B 1 , B 2 ) 的 两 个 数 的无穷多的数，都在A_{1}中，却都不在B_{1}中。这种情况下，我们说对应于两个本质上不同的分割(A_{1},{2})与(B_{1},B_{2})的两个数的无穷多的数，都在A1中，却都不在B1中。这种情况下，我们说对应于两个本质上不同的分割(A1,2)与(B1,B2)的两个数
α 和 β 是 不 同 的 ， 或 者 更 进 一 步 ， 我 们 说 α > β ， 以 及 β < α , 需 要 注 意 的 是 ， 这 个 定 义 与 前 面 当 α 和 β \alpha 和\beta 是不同的，或者更进一步，我们说\alpha>\beta，以及\beta<\alpha,需要注意的是，这个定义与前面当\alpha和\betaα和β是不同的，或者更进一步，我们说α>β，以及β<α,需要注意的是，这个定义与前面当α和β
都 是 有 理 数 时 的 定 义 完 全 一 致 。 都是有理数时的定义完全一致。都是有理数时的定义完全一致。
剩 下 的 情 况 如 下 \quad 剩下的情况如下剩下的情况如下
4. 如 果 在 B 1 中 存 在 一 个 且 只 有 一 个 b 1 ′ = a 1 ′ ， 不 属 于 A 1 , 那 么 ( A 1 , A 2 ) 与 ( B 1 , B 2 ) 仅 仅 是 非 本 质 性 区 别 ， \quad 4.如果在B_{1}中存在一个且只有一个b_{1}'=a_{1}'，不属于A_{1},那么(A_{1},A_{2})与(B_{1},B_{2})仅仅是非本质性区别，4.如果在B1中存在一个且只有一个b1′=a1′，不属于A1,那么(A1,A2)与(B1,B2)仅仅是非本质性区别，
并 且 都 是 由 同 一 个 有 理 数 α = a 2 ′ = b 1 ′ = β 产 生 并且都是由同一个有理数\alpha=a_{2}'=b_{1}'=\beta产生并且都是由同一个有理数α=a2′=b1′=β产生
5. 但 是 ， 如 果 B 1 中 至 少 有 两 个 数 是 A 1 中 没 有 的 ， 那 么 β > α , 或 α < β \quad\quad 5. 但是，如果B_{1}中至少有两个数是A_{1}中没有的，那么\beta>\alpha,或\alpha<\beta5.但是，如果B1中至少有两个数是A1中没有的，那么β>α,或α<β
上 述 讨 论 遍 历 了 全 部 情 况 ， 可 知 ， 对 于 两 个 不 同 的 数 ， 只 有 其 中 一 个 大 于 另 一 个 的 情 况 . 这 一 点 在 指 定 α 和 β 的 大 小 关 系 时 用 到 过 ， 但 是 直 到 现 在 才 给 予 了 证 明 。 在 进 行 上 述 研 究 时 ， 必 须 加 倍 小 心 ， 以 防 把 其 他 领 域 的 经 验 ， 照 搬 到 研 究 对 象 中 。 \quad 上述讨论遍历了全部情况，可知，对于两个不同的数，只有其中一个大于另一个的情况.这一点在指定\alpha和\beta的大小关系时用到过，但是直到现在才给予了证明。在进行上述研究时，必须加倍小心，以防把其他领域的经验，照搬到研究对象中。上述讨论遍历了全部情况，可知，对于两个不同的数，只有其中一个大于另一个的情况.这一点在指定α和β的大小关系时用到过，但是直到现在才给予了证明。在进行上述研究时，必须加倍小心，以防把其他领域的经验，照搬到研究对象中。
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\quad
如 果 我 们 再 稍 微 仔 细 些 研 究 α > β 的 情 况 ， 显 然 ， 小 的 这 个 数 β 如 果 是 有 理 数 ， 那 么 必 然 属 于 A 1 , 因 为 在 A 1 中 \quad\quad 如果我们再稍微仔细些研究\alpha>\beta 的情况，显然，小的这个数\beta 如果是有理数，那么必然属于A_{1},因为在A_{1}中如果我们再稍微仔细些研究α>β的情况，显然，小的这个数β如果是有理数，那么必然属于A1,因为在A1中
存 在 一 个 数 a 1 ′ = b 2 ′ 属 于 B 2 , 于 是 有 ， 不 管 β 是 B 1 的 最 大 值 还 是 B 2 的 最 小 值 ， 都 有 β ≤ a 1 ′ , 因 此 β 属 于 A 1 . 存在一个数a_{1}'=b_{2}'属于 B_{2},于是有，不管\beta是B_{1}的最大值还是B_{2}的最小值，都有\beta\le a_{1}',因此\beta属于A_{1}.存在一个数a1′=b2′属于B2,于是有，不管β是B1的最大值还是B2的最小值，都有β≤a1′,因此β属于A1.
同 理 , 很 显 然 ， 由 α > β , 可 知 α 属 于 B 2 , 因 为 α ≥ a 1 ′ 。 结 合 上 述 两 点 ， 可 得 下 面 结 果 ， 如 果 一 个 切 割 是 由 数 α 产 生 ， 同理,很显然，由\alpha>\beta,可知\alpha属于B_{2},因为\alpha\geq a_{1}'。结合上述两点，可得下面结果，如果一个切割是由数\alpha产生，同理,很显然，由α>β,可知α属于B2,因为α≥a1′。结合上述两点，可得下面结果，如果一个切割是由数α产生，
那 么 任 何 一 个 有 理 数 ， 如 果 小 于 α 的 数 ， 划 分 于 A 1 ， 否 则 划 分 于 A 2 ; 如 果 α 是 有 理 数 ， 那 么 它 自 己 可 以 随 意 划 归 于 A 1 或 A 2 那么任何一个有理数，如果小于\alpha的数，划分于A_{1}，否则划分于A_{2};如果\alpha是有理数，那么它自己可以随意划归于A_{1}或A_{2}那么任何一个有理数，如果小于α的数，划分于A1，否则划分于A2;如果α是有理数，那么它自己可以随意划归于A1或A2.
最 终 ， 我 们 得 到 ： 若 α > β , 即 ， 如 果 有 无 穷 多 数 ， 属 于 A 1 ， 但 是 不 属 于 B 1 , 那 么 必 然 有 无 穷 多 数 ， 既 不 同 \quad\quad 最终，我们得到：若\alpha>\beta,即，如果有无穷多数，属于A_{1}，但是不属于B_{1},那么必然有无穷多数，既不同最终，我们得到：若α>β,即，如果有无穷多数，属于A1，但是不属于B1,那么必然有无穷多数，既不同
于 α 也 不 同 于 β ; 每 个 这 样 的 数 c 都 小 于 α ， 因 为 它 属 于 A 1 ； 同 时 c > β , 因 为 c 属 于 B 2 于\alpha也不同于\beta;每个这样的数c都小于\alpha，因为它属于A_{1}；同时c>\beta,因为c属于B_{2}于α也不同于β;每个这样的数c都小于α，因为它属于A1；同时c>β,因为c属于B2
V \quad\quad\quad\quad VV
实 数 域 的 连 续 性 \quad\quad\quad 实数域的连续性实数域的连续性
作 为 前 述 特 性 产 物 ， 包 含 全 体 实 数 的 系 统 R ， 建 立 了 一 个 布 局 良 好 的 一 维 域 ； 这 一 切 都 是 为 了 证 明 如 下 的 结 论 ： 作为前述特性产物，包含全体实数的系统R，建立了一个布局良好的一维域；这一切都是为了证明如下的结论：作为前述特性产物，包含全体实数的系统R，建立了一个布局良好的一维域；这一切都是为了证明如下的结论：
I . 若 α > β , 且 β > γ , 则 α > γ . 我 们 说 β 在 α 和 γ 之 间 I.若\alpha>\beta,且\beta>\gamma,则\alpha > \gamma .我们说\beta在\alpha和\gamma之间I.若α>β,且β>γ,则α>γ.我们说β在α和γ之间
I I . 若 α 和 γ 是 两 个 不 同 的 数 ， 那 么 此 二 数 之 间 有 无 穷 多 数 β 存 在 ； II.若\alpha和\gamma是两个不同的数，那么此二数之间有无穷多数\beta存在；II.若α和γ是两个不同的数，那么此二数之间有无穷多数β存在；
I I I . 若 α 是 任 意 一 个 有 限 数 ， 那 么 实 数 域 R 被 分 成 A 1 和 A 2 两 类 ， 每 个 类 都 包 含 无 数 多 数 ， 第 一 类 A 1 包 含 所 有 小 于 III.若\alpha是任意一个有限数，那么实数域R被分成A_{1}和A_{2}两类，每个类都包含无数多数，第一类A_{1}包含所有小于III.若α是任意一个有限数，那么实数域R被分成A1和A2两类，每个类都包含无数多数，第一类A1包含所有小于
α 的 数 ， 第 二 类 A 2 包 含 所 有 大 于 α 的 数 ， α 可 以 被 任 意 归 入 任 何 一 类 ， 且 相 应 成 为 A 1 类 的 最 大 值 或 A 2 类 的 最 小 值 ； \alpha的数，第二类A_{2}包含所有大于\alpha的数，\alpha可以被任意归入任何一类，且相应成为A_{1}类的最大值或A_{2}类的最小值；α的数，第二类A2包含所有大于α的数，α可以被任意归入任何一类，且相应成为A1类的最大值或A2类的最小值；
不 管 是 上 述 哪 一 种 情 况 ， 都 会 得 到 这 样 的 结 果 ： 系 统 R 被 分 成 两 类 ， 第 一 类 里 的 所 有 数 ， 都 小 于 第 二 类 的 所 有 数 ； 并 且 我 们 说 这 个 分 割 是 α 产 生 的 ； 不管是上述哪一种情况，都会得到这样的结果：系统R被分成两类，第一类里的所有数，都小于第二类的所有数；并且我们说这个分割是\alpha产生的；不管是上述哪一种情况，都会得到这样的结果：系统R被分成两类，第一类里的所有数，都小于第二类的所有数；并且我们说这个分割是α产生的；
为 简 洁 起 见 ， 也 为 了 避 免 让 读 者 太 累 ， 我 把 前 面 用 的 那 些 定 理 的 证 明 放 在 了 后 面 。 \quad\quad 为简洁起见，也为了避免让读者太累，我把前面用的那些定理的证明放在了后面。为简洁起见，也为了避免让读者太累，我把前面用的那些定理的证明放在了后面。
除 了 上 述 特 性 ， 域 R 还 有 连 续 性 ； 即 ， 下 面 的 定 理 成 立 ： \quad\quad 除了上述特性，域R还有连续性；即，下面的定理成立：除了上述特性，域R还有连续性；即，下面的定理成立：
I V . 若 包 含 全 体 实 数 的 系 统 R 被 分 成 两 部 分 A 1 和 A 2 , 使 得 A 1 中 的 所 有 数 均 小 于 和 A 2 中 所 有 数 ， 那 么 ， \quad IV.若包含全体实数的系统R被分成两部分A_{1}和A_{2},使得A_{1}中的所有数均小于和A_{2}中所有数，那么，IV.若包含全体实数的系统R被分成两部分A1和A2,使得A1中的所有数均小于和A2中所有数，那么，
有 且 只 有 一 个 数 能 产 生 这 样 的 分 割 ； 有且只有一个数能产生这样的分割；有且只有一个数能产生这样的分割；