使用蒙特卡罗方法计算圆周率近似值和定积分

1.实验目的

(1)理解蒙特卡罗方法原理。
(2)熟练使用内置函数input()接收用户输入。
(3)养成对用户输入立即进行类型转换的习惯。
(4)熟练使用for循环控制循环次数。
(5)理解for循环的本质与工作原理。
(6)了解random模块中的常用函数。

2.实验内容

蒙特卡罗方法是一种通过概率统计来得到问题近似解的方法，在很多领域都有重要的应用，其中就包括圆周率近似值的计算问题。假设有一块边长为2的正方形木板，上面画一个单位圆，然后随意往木板上掷飞镖，落点坐标必然在木板上(更多的时候是落在单位圆内)，如果掷的次数足够多,那么落在单位圆内的次数除以总次数再乘以4,这个数字会无限逼近圆周率的值。这就是蒙特卡罗发明的用于计算圆周率近似值的方法，如图所示。

（1）计算圆周率近似值

模拟蒙特卡罗计算圆周率近似值的方法,输入掷飞镖次数，然后输出圆周率近似值。观察实验结果，理解实验结果随着模拟次数增多越来越接近圆周率的原因。

from random import uniform

# times = int(input('请输入掷飞镖次数：'))
times=52345
hits = 0
for i in range(times):  # 循环
    x = uniform(-1, 1)  # 产生随机数
    y = uniform(-1, 1)
    if x*x+y*y <= 1:
        hits += 1
print(4.0*hits/times)

结果趋近于3.14

（2）蒙特卡罗方法求解定积分。

利用蒙特卡罗方法近似计算抛物线y=x2+1，在区间x∈[3, 9]，及横轴所围成的图形的面积。

import random
'''
投点法计算函数 y=x^2+1 在[3,9]内的定积分
'''
def f(x):
    return x**2 + 1

x1, x2 = 3, 9
y1, y2 = 0, f(x2)  # 矩形区域边界


def play_game():

    # 在 矩形 区域内随机投点
    x = random.uniform(x1, x2)  # 均匀分布
    y = random.uniform(y1, y2)
    # 根据点落在函数 y=x^2图像下方与否，返回1,0（为方便计数）
    return [0, 1][y < f(x)]


# 游戏次数
n = 12

# 蒙特卡罗方法，模拟 n 次游戏

integral = sum((play_game() for _ in range(n))) / n   # 频率近似于定积分

print((x2-x1)*(y2-y1)*integral)

结果趋近于 240